Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vi) Se uma reta é paralela ao vetor normal de um plano, então ela é paralela ao plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado dessa questão fala sobre geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço. Precisamos verificar se a afirmação “Se uma reta é paralela ao vetor normal de um plano, então ela é paralela ao plano” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos entender um pouco sobre vetores normais e a relação entre retas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor normal. Em um plano, o vetor normal é um vetor que é perpendicular a todo o plano. Ou seja, ele aponta diretamente “fora” do plano, formando um ângulo de 90 graus com qualquer reta que esteja no plano.

Passo 3

Agora, se temos uma reta que é paralela ao vetor normal do plano, significa que a direção dessa reta é a mesma ou oposta à direção do vetor normal. Em outras palavras, a reta também será perpendicular ao plano, já que está alinhada com o vetor que é perpendicular ao plano.

Passo 4

Mas a afirmação diz que se a reta é paralela ao vetor normal, então ela é paralela ao plano. Vamos pensar nisso: se uma reta é perpendicular ao plano, ela não está “seguindo” o plano, mas sim apontando para cima ou para baixo em relação a ele. Isso significa que a reta não está na mesma direção do plano, portanto, não é paralela a ele.

Passo 5

Para deixar isso mais claro, vamos pensar em um exemplo prático. Imagine um chão (que representa o plano) e uma vara que está em pé, perpendicular ao chão. A vara está alinhada com o vetor normal do chão. Nesse caso, a vara não é paralela ao chão; na verdade, ela é perpendicular a ele.

Passo 6

Portanto, a afirmação está errada. Uma reta que é paralela ao vetor normal de um plano não é paralela ao plano; ela é perpendicular a ele.

Resposta

A afirmação é falsa. Uma reta paralela ao vetor normal de um plano é perpendicular ao plano, não paralela a ele.

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Verifique que os vetores e formam uma base ortonormal de com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, expresse o vetor dado como uma combinação linear de e :
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(ii) Quaisquer três planos que não incluam um par de planos paralelos se encontram em um único ponto.
Considere a matriz de ordem dada por:
  1. Determine o núcleo (kernel) da matriz :
  • Encontre o conjunto de todos os vetores em tal que , em que é o vetor nulo em .
  1. Determine a imagem (ou espaço coluna) da matriz :
  • Encontre o conjunto de todos os vetores em tal que existe um vetor em com
Esboce cada uma das parábolas, indicando as coordenadas do foco e a equação da diretriz.
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