Mostre que o conjunto é linearmente independente no espaço vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o conjunto é linearmente independente no espaço vetorial , que é basicamente o conjunto de todas as funções reais. Isso significa que queremos provar que nenhuma dessas funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear e uma ferramenta chamada Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de funções ser linearmente independente. Dizemos que é linearmente independente se a única solução para a equação
para todo no domínio, é . Ou seja, não existe nenhuma combinação não-trivial das funções que dê zero.
Passo 3
Para verificar isso de forma prática, usamos o Wronskiano, que é um determinante construído a partir das funções e suas derivadas. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto, isso garante que as funções são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular o Wronskiano para as funções , e . Primeiro, precisamos das primeiras e segundas derivadas dessas funções:
(usando a regra do produto)
Passo 5
Agora, montamos a matriz do Wronskiano:
Passo 6
Vamos calcular esse determinante. Expandindo pelo primeiro elemento da primeira coluna:
Calculando o menor:
Então, .
Passo 7
Agora, observamos que nunca é zero para nenhum valor real de . Como o Wronskiano é diferente de zero, isso confirma que as funções , e são linearmente independentes no espaço .
Resposta
O conjunto é linearmente independente no espaço vetorial .