Mostre que o conjunto S=1, e^x, x e^x é linearmente independente no espaço vetorial F(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o conjunto é linearmente independente no espaço vetorial , que é basicamente o conjunto de todas as funções reais. Isso significa que queremos provar que nenhuma dessas funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear e uma ferramenta chamada Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de funções ser linearmente independente. Dizemos que c1 f1(x) + c2 f2(x) + c3 f3(x) = 0 é linearmente independente se a única solução para a equação
para todo no domínio, é . Ou seja, não existe nenhuma combinação não-trivial das funções que dê zero.

Passo 3

Para verificar isso de forma prática, usamos o Wronskiano, que é um determinante construído a partir das funções e suas derivadas. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto, isso garante que as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular o Wronskiano para as funções , e . Primeiro, precisamos das primeiras e segundas derivadas dessas funções:
    • (usando a regra do produto)

Passo 5

Agora, montamos a matriz do Wronskiano:
W(x) = f1(x) & f2(x) & f3(x) f1'(x) & f2'(x) & f3'(x) f1''(x) & f2''(x) & f3''(x) = 1 & e^x & x e^x 0 & e^x & e^x + x e^x 0 & e^x & 2 e^x + x e^x

Passo 6

Vamos calcular esse determinante. Expandindo pelo primeiro elemento da primeira coluna:
W(x) = 1 cdot e^x & e^x + x e^x e^x & 2 e^x + x e^x - 0 + 0
Calculando o menor:
e^x & e^x + x e^x e^x & 2 e^x + x e^x = e^x (2 e^x + x e^x) - e^x (e^x + x e^x) = 2 e^2x + x e^2x - e^2x - x e^2x = e^2x
Então, .

Passo 7

Agora, observamos que nunca é zero para nenhum valor real de . Como o Wronskiano é diferente de zero, isso confirma que as funções , e são linearmente independentes no espaço .

Resposta

O conjunto é linearmente independente no espaço vetorial .

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