Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma reta é transversal (ou seja, não paralela) a um plano e, se for o caso, encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, equações de reta e de plano, e como verificar a relação entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta pode ser representada por uma equação vetorial ou paramétrica, geralmente na forma:
Onde:
-
é um ponto na reta. -
é o vetor diretor da reta. -
é um parâmetro real.
Já um plano é geralmente dado pela equação:
Onde
,
, e
são os coeficientes que definem a normal do plano.
Passo 3
Para verificar se a reta é transversal ao plano, precisamos checar se o vetor diretor da reta não é paralelo ao plano. Isso significa que o vetor diretor não deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Matematicamente, isso se verifica se o produto escalar entre eles não for zero:
Onde
é o vetor normal do plano.
Passo 4
Se o produto escalar
não for zero, então a reta intersecta o plano em um único ponto. Para encontrar esse ponto, vamos substituir as coordenadas da reta na equação do plano e resolver para
.
Vamos supor que a equação paramétrica da reta seja:
Substituindo na equação do plano:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
Então, seguindo esses passos, verificamos que a reta é transversal ao plano e o ponto de interseção é
calculado substituindo o valor de
nas equações paramétricas da reta.
Exercícios relacionados
Considere o espaço vetorial
munido do produto interno:
e seja
o subespaço de
dado por
. Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base
de
, obtemos a base ortogonal:
Considere os planos
e
.
(iii) Ache uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto
e é perpendicular a
.
(iii) Ache uma equação vetorial da reta
Mostre que o conjunto
é linearmente independente no espaço vetorial
.
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(ii) Quaisquer três planos que não incluam um par de planos paralelos se encontram em um único ponto.
(ii) Quaisquer três planos que não incluam um par de planos paralelos se encontram em um único ponto.