Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma reta é transversal (ou seja, não paralela) a um plano e, se for o caso, encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, equações de reta e de plano, e como verificar a relação entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta pode ser representada por uma equação vetorial ou paramétrica, geralmente na forma:
Onde:
-
é um ponto na reta. -
é o vetor diretor da reta. -
é um parâmetro real.
Já um plano é geralmente dado pela equação:
Onde
,
, e
são os coeficientes que definem a normal do plano.
Passo 3
Para verificar se a reta é transversal ao plano, precisamos checar se o vetor diretor da reta não é paralelo ao plano. Isso significa que o vetor diretor não deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Matematicamente, isso se verifica se o produto escalar entre eles não for zero:
Onde
é o vetor normal do plano.
Passo 4
Se o produto escalar
não for zero, então a reta intersecta o plano em um único ponto. Para encontrar esse ponto, vamos substituir as coordenadas da reta na equação do plano e resolver para
.
Vamos supor que a equação paramétrica da reta seja:
Substituindo na equação do plano:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
Então, seguindo esses passos, verificamos que a reta é transversal ao plano e o ponto de interseção é
calculado substituindo o valor de
nas equações paramétricas da reta.