Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma reta é transversal (ou seja, não paralela) a um plano e, se for o caso, encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, equações de reta e de plano, e como verificar a relação entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta pode ser representada por uma equação vetorial ou paramétrica, geralmente na forma:
Onde:
  • é um ponto na reta.
  • é o vetor diretor da reta.
  • é um parâmetro real.
Já um plano é geralmente dado pela equação:
Onde , , e são os coeficientes que definem a normal do plano.

Passo 3

Para verificar se a reta é transversal ao plano, precisamos checar se o vetor diretor da reta não é paralelo ao plano. Isso significa que o vetor diretor não deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Matematicamente, isso se verifica se o produto escalar entre eles não for zero:
Onde é o vetor normal do plano.

Passo 4

Se o produto escalar não for zero, então a reta intersecta o plano em um único ponto. Para encontrar esse ponto, vamos substituir as coordenadas da reta na equação do plano e resolver para .
Vamos supor que a equação paramétrica da reta seja:
Substituindo na equação do plano:
Resolvendo para :

Passo 5

Com o valor de encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

Então, seguindo esses passos, verificamos que a reta é transversal ao plano e o ponto de interseção é calculado substituindo o valor de nas equações paramétricas da reta.

Exercícios relacionados

Considere o espaço vetorial munido do produto interno:
e seja o subespaço de dado por . Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base de , obtemos a base ortogonal:
Considere os planos e .
(iii) Ache uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto e é perpendicular a .
Mostre que o conjunto é linearmente independente no espaço vetorial .
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(ii) Quaisquer três planos que não incluam um par de planos paralelos se encontram em um único ponto.