Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(iii) Se o plano de equação contém a origem, então .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano definido pela equação . A afirmação que precisamos verificar é: "Se o plano contém a origem, então ". Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre a equação de um plano e o que significa um ponto estar nele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a origem no espaço tridimensional é o ponto . Dizer que o plano contém a origem significa que esse ponto satisfaz a equação do plano.
Passo 3
Agora, vamos substituir as coordenadas da origem na equação do plano:
Isso simplifica para:
Passo 4
A igualdade mostra que, para a origem estar no plano, o valor de deve ser exatamente zero. Não há outra possibilidade que satisfaça a equação com as coordenadas da origem.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se o plano contém a origem, então deve ser zero.