Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(iii) Se o plano de equação a x+b y+c z=k contém a origem, então k=0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano definido pela equação . A afirmação que precisamos verificar é: "Se o plano contém a origem, então ". Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre a equação de um plano e o que significa um ponto estar nele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a origem no espaço tridimensional é o ponto . Dizer que o plano contém a origem significa que esse ponto satisfaz a equação do plano.

Passo 3

Agora, vamos substituir as coordenadas da origem a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 0 = k na equação do plano:
0 = k
Isso simplifica para:

Passo 4

A igualdade mostra que, para a origem estar no plano, o valor de deve ser exatamente zero. Não há outra possibilidade que satisfaça a equação com as coordenadas da origem.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se o plano contém a origem, então deve ser zero.

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