Calcular os valores de e para que a reta esteja contida no plano nos seguintes casos:
(a) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria analítica juntos! A gente quer achar os valores de e para que a reta esteja totalmente dentro do plano . Para isso, vamos precisar entender as equações da reta e do plano e ver como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
  • A reta é dada pelas equações paramétricas:
    Aqui, é o parâmetro que percorre todos os pontos da reta.
  • O plano tem a equação geral:
    Nosso objetivo é encontrar e que tornam essa equação válida para todos os pontos da reta .

Passo 3

Para a reta estar contida no plano , todo ponto da reta deve satisfazer a equação do plano. Isso significa que, ao substituir as expressões de , e da reta na equação do plano, a igualdade deve valer para qualquer valor de .
Vamos fazer essa substituição:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Para essa igualdade ser verdadeira para qualquer , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero separadamente.
Primeiro, o coeficiente de :
Segundo, o termo constante:
Substituindo :

Resposta

Os valores são e .

Exercícios relacionados

Determine o valor de para que a parábola tenha foco no ponto . Esboce a parábola encontrada no sistema de coordenadas cartesianas.
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(iii) Se o plano de equação contém a origem, então .
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(viii) Uma reta ortogonal ao vetor normal de um plano tem que ser paralela ao plano.
Determinar o ponto de interseção da reta com o plano nos seguintes casos:
(a) ;
(b) e .