Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano pi nos seguintes casos:
(a) r:lx=-2+lambda y=3-2 lambda z=2 lambda, lambda in R e pi: m x+2 y-3 z+n=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria analítica juntos! A gente quer achar os valores de e para que a reta esteja totalmente dentro do plano . Para isso, vamos precisar entender as equações da reta e do plano e ver como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
  • A reta x = -2 + lambda y = 3 - 2lambda z = 2lambda , lambda in R é dada pelas equações paramétricas:
    m x + 2 y - 3 z + n = 0
    Aqui, é o parâmetro que percorre todos os pontos da reta.
  • O plano tem a equação geral:
    Nosso objetivo é encontrar e que tornam essa equação válida para todos os pontos da reta .

Passo 3

Para a reta m(-2 + lambda) + 2(3 - 2lambda) - 3(2lambda) + n = 0 estar contida no plano -2m + mlambda + 6 - 4lambda - 6lambda + n = 0 , todo ponto da reta deve satisfazer a equação do plano. Isso significa que, ao substituir as expressões de (m)lambda + (-4lambda - 6lambda) + (-2m + 6 + n) = 0 , mlambda - 10lambda - 2m + 6 + n = 0 e da reta na equação do plano, a igualdade deve valer para qualquer valor de .
Vamos fazer essa substituição:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Para essa igualdade ser verdadeira para qualquer m - 10 = 0 Rightarrow m = 10 , os coeficientes de -2m + 6 + n = 0 e o termo constante devem ser iguais a zero separadamente.
Primeiro, o coeficiente de -2(10) + 6 + n = 0 Rightarrow -20 + 6 + n = 0 Rightarrow n = 14 :
Segundo, o termo constante:
Substituindo :

Resposta

Os valores são e .

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