Determine o valor de para que a parábola tenha foco no ponto . Esboce a parábola encontrada no sistema de coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que a parábola tenha o foco no ponto . Aqui estamos mexendo com geometria analítica, especificamente com propriedades das parábolas. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o foco de uma parábola que está na forma .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para uma parábola na forma , o foco está localizado no ponto . Essa fórmula nos diz onde está o foco em relação ao valor de (que no nosso caso é o ).
Passo 3
Agora, como queremos que o foco esteja no ponto , vamos igualar as coordenadas do foco da parábola com esse ponto. Ou seja:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :
Resposta
Então, o valor de é . A parábola correspondente é , e ela tem o foco no ponto como desejado.
Esboço da Parábola
Para esboçar a parábola :
Vértice: Está na origem .
Foco: No ponto .
Diretriz: A linha .
Abertura: A parábola abre para cima.
O gráfico será uma curva simétrica em relação ao eixo y, passando pela origem e com o foco acima dela.