Determine o valor de k para que a parábola y=k x^2 tenha foco no ponto (0,3). Esboce a parábola encontrada no sistema de coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que a parábola tenha o foco no ponto . Aqui estamos mexendo com geometria analítica, especificamente com propriedades das parábolas. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o foco de uma parábola que está na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para uma parábola na forma , o foco está localizado no ponto . Essa fórmula nos diz onde está o foco em relação ao valor de (que no nosso caso é o ).

Passo 3

Agora, como queremos que o foco esteja no ponto 14k = 3 , vamos igualar as coordenadas do foco da parábola com esse ponto. Ou seja:
14k = 3 Rightarrow 4k = 13 Rightarrow k = 112
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :

Resposta

Então, o valor de é . A parábola correspondente é , e ela tem o foco no ponto como desejado.

Esboço da Parábola

Para esboçar a parábola :
  1. Vértice: Está na origem .
  2. Foco: No ponto .
  3. Diretriz: A linha .
  4. Abertura: A parábola abre para cima.
O gráfico será uma curva simétrica em relação ao eixo y, passando pela origem e com o foco acima dela.

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