Determine o valor de para que a parábola tenha foco no ponto . Esboce a parábola encontrada no sistema de coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que a parábola tenha o foco no ponto . Aqui estamos mexendo com geometria analítica, especificamente com propriedades das parábolas. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o foco de uma parábola que está na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para uma parábola na forma , o foco está localizado no ponto . Essa fórmula nos diz onde está o foco em relação ao valor de (que no nosso caso é o ).

Passo 3

Agora, como queremos que o foco esteja no ponto , vamos igualar as coordenadas do foco da parábola com esse ponto. Ou seja:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :

Resposta

Então, o valor de é . A parábola correspondente é , e ela tem o foco no ponto como desejado.

Esboço da Parábola

Para esboçar a parábola :
  1. Vértice: Está na origem .
  2. Foco: No ponto .
  3. Diretriz: A linha .
  4. Abertura: A parábola abre para cima.
O gráfico será uma curva simétrica em relação ao eixo y, passando pela origem e com o foco acima dela.

Exercícios relacionados

Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(iii) Se o plano de equação contém a origem, então .
Determine a equação da reta que tangencia a circunferência no ponto .
Calcular os valores de e para que a reta esteja contida no plano nos seguintes casos:
(a) e .
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(viii) Uma reta ortogonal ao vetor normal de um plano tem que ser paralela ao plano.