Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(iv) Todo plano tem exatamente uma equação da forma .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação pra analisar: “Todo plano tem exatamente uma equação da forma .” Isso tá dentro de Geometria Analítica, onde trabalhamos com planos no espaço tridimensional. Precisamos descobrir se cada plano realmente possui só uma equação desse jeito ou se pode ter mais de uma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação de plano na forma . Aqui, , , e são os coeficientes que determinam a orientação do plano, e ajusta a posição do plano no espaço.
Agora, se a afirmação diz que cada plano tem exatamente uma equação dessa forma, a gente precisa ver se isso é verdade ou se podemos ter mais de uma equação representando o mesmo plano.

Passo 3

Vamos lembrar que multiplicar todos os coeficientes de uma equação de plano por um número diferente de zero não muda o plano. Por exemplo, se temos a equação , podemos dividir todos os termos por 2 e obter . Esse é o mesmo plano, mas com uma equação diferente.

Passo 4

Isso mostra que não existe apenas uma única equação para cada plano na forma . Na verdade, podemos gerar infinitas equações para o mesmo plano apenas multiplicando ou dividindo os coeficientes por qualquer número não nulo.

Passo 5

Portanto, a afirmação de que todo plano tem exatamente uma equação dessa forma é falsa. Na realidade, há múltiplas equações que podem representar o mesmo plano.

Resposta

A afirmação é falsa. Um mesmo plano pode ter várias equações da forma .

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Sejam e matrizes de um espaço vetorial com produto interno , calcule em cada caso:
Em cada um dos itens abaixo, encontre equações paramétricas para a reta .
(ii) passa pelo e é perpendicular à reta de equação .
Mostre que se é uma matriz escalar de ordem , então para qualquer escalar .
Sobre o plano e da reta : , está correto afirmar que
(A) é paralela a , mas não está contida em .
(B) está contida em .
© não é paralela e nem perpendicular a , e um vetor diretor de faz um ângulo de 45 graus com um vetor normal a .
(D) é perpendicular a .
(E) nãoo é paralela e nem perpendicular a , e um vetor diretor de faz um ângulo de 60 graus com um vetor normal a .