Sejam e matrizes de um espaço vetorial com produto interno , calcule em cada caso:

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear envolvendo matrizes e produto interno. O enunciado nos dá duas matrizes e de ordem e define o produto interno como , onde representa a traça da matriz. Para resolver, vamos precisar transpor uma das matrizes, multiplicar as matrizes resultantes e somar os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a transposta da matriz . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Agora, multiplicamos pela matriz . Multiplicação de matrizes:

Passo 4

Em seguida, calculamos a traça da matriz resultante . A traça de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal.

Resposta

O produto interno é igual a .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, encontre equações paramétricas para a reta . (ii) passa pelo e é perpendicular à reta de equação .
Considere as bases e de , relacionadas da seguinte forma: Pede-se: (a) Determine as matrizes de mudança de base e . (b) Considere que o elemento tem por vetor de coordenadas Determine o vetor de coordenadas do elemento com relação à base .
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. (iv) Todo plano tem exatamente uma equação da forma .
Mostre que se é uma matriz escalar de ordem , então para qualquer escalar .