Mostre que se
é uma matriz escalar de ordem
, então
para qualquer escalar
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz
de ordem
, e precisamos mostrar que, se
é uma matriz escalar, então ela pode ser escrita como
, onde
é um número escalar e
é a matriz identidade de ordem
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é uma matriz escalar e uma matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma matriz escalar. Uma matriz escalar é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero, e todos os elementos da diagonal principal são iguais entre si. Ou seja, se
é uma matriz escalar, então:
onde
é um número escalar.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a matriz identidade
. A matriz identidade de ordem
é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e todos os outros elementos são iguais a zero:
onde
é o delta de Kronecker.
Passo 4
Se multiplicarmos a matriz identidade
por um escalar
, obtemos:
Isso significa que
é uma matriz onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a
, e todos os demais elementos são zero.
Passo 5
Comparando a definição de uma matriz escalar com a expressão de
, vemos que ambas têm a mesma estrutura: elementos iguais na diagonal principal e zeros fora dela. Portanto, qualquer matriz escalar
pode ser escrita como
.
Resposta
Se
é uma matriz escalar de ordem
, então
, onde
é um escalar.
Exercícios relacionados
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(iv) Todo plano tem exatamente uma equação da forma .
(iv) Todo plano tem exatamente uma equação da forma
Sejam
e
matrizes
de um espaço vetorial
com produto interno
, calcule
em cada caso:
Sobre o plano
e da reta
:
, está correto afirmar que
(A) é paralela a
, mas não está contida em
.
(B) está contida em
.
© não é paralela e nem perpendicular a
, e um vetor diretor de
faz um ângulo de 45 graus com um vetor normal a
.
(D) é perpendicular a
.
(E) nãoo é paralela e nem perpendicular a
, e um vetor diretor de
faz um ângulo de 60 graus com um vetor normal a
.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Dada a elipse
, esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices