Mostre que se
é uma matriz escalar de ordem
, então
para qualquer escalar
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz
de ordem
, e precisamos mostrar que, se
é uma matriz escalar, então ela pode ser escrita como
, onde
é um número escalar e
é a matriz identidade de ordem
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é uma matriz escalar e uma matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma matriz escalar. Uma matriz escalar é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero, e todos os elementos da diagonal principal são iguais entre si. Ou seja, se
é uma matriz escalar, então:
onde
é um número escalar.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a matriz identidade
. A matriz identidade de ordem
é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e todos os outros elementos são iguais a zero:
onde
é o delta de Kronecker.
Passo 4
Se multiplicarmos a matriz identidade
por um escalar
, obtemos:
Isso significa que
é uma matriz onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a
, e todos os demais elementos são zero.
Passo 5
Comparando a definição de uma matriz escalar com a expressão de
, vemos que ambas têm a mesma estrutura: elementos iguais na diagonal principal e zeros fora dela. Portanto, qualquer matriz escalar
pode ser escrita como
.
Resposta
Se
é uma matriz escalar de ordem
, então
, onde
é um escalar.