Mostre que se A=[ai j] é uma matriz escalar de ordem n, então A=c In para qualquer escalar c.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz A = [aij] de ordem n, e precisamos mostrar que, se A é uma matriz escalar, então ela pode ser escrita como A = c In, onde c é um número escalar e In é a matriz identidade de ordem n. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é uma matriz escalar e uma matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é uma matriz escalar. Uma matriz escalar é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero, e todos os elementos da diagonal principal são iguais entre si. Ou seja, se A é uma matriz escalar, então:
aij = c & se i = j 0 & se i neq j
onde c é um número escalar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a matriz identidade In. A matriz identidade de ordem n é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e todos os outros elementos são iguais a zero:
In = [ de
onde de é o delta de Kronecker.

Passo 4

Se multiplicarmos a matriz identidade In por um escalar c, obtemos:
c In = [ c cdot de
Isso significa que c In é uma matriz onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a c, e todos os demais elementos são zero.

Passo 5

Comparando a definição de uma matriz escalar com a expressão de c In, vemos que ambas têm a mesma estrutura: elementos iguais na diagonal principal e zeros fora dela. Portanto, qualquer matriz escalar A pode ser escrita como A = c In.

Resposta

Se A = [aij] é uma matriz escalar de ordem n, então A = c In, onde c é um escalar.

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