Sobre o plano pi: x-3 y-z=1 e da reta r : lx+y+z=4 x+3 y+2 z=2, está correto afirmar que
(A) r é paralela a pi, mas não está contida em pi.
(B) r está contida em pi.
© r não é paralela e nem perpendicular a pi, e um vetor diretor de r faz um ângulo de 45 graus com um vetor normal a pi.
(D) r é perpendicular a pi.
(E) r nãoo é paralela e nem perpendicular a pi, e um vetor diretor de r faz um ângulo de 60 graus com um vetor normal a pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que envolve plano e reta no espaço. O enunciado nos dá o plano pi: x - 3y - z = 1 e a reta r definida pelas equações x + y + z = 4 e x + 3y + 2z = 2. Para resolver, vamos precisar entender como verificar se uma reta é paralela, está contida ou é perpendicular a um plano. Vamos usar vetores normais e vetores diretores para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor normal ao plano pi. A equação do plano é x - 3y - z = 1, e os coeficientes de x, y e z nos dão diretamente o vetor normal. Então, o vetor normal n é:
n = 1 -3 -1

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta r. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações que define a reta:
x + y + z = 4 x + 3y + 2z = 2
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x + 3y + 2z) - (x + y + z) = 2 - 4
Simplificando:
2y + z = -2
Podemos expressar z em função de y:
z = -2 - 2y
Agora, expressamos x em função de y usando a primeira equação:
x = 4 - y - z = 4 - y - (-2 - 2y) = 4 - y + 2 + 2y = 6 + y
Então, os parâmetros da reta são:
x = 6 + y y = y z = -2 - 2y
O vetor diretor d da reta r é dado pelos coeficientes de y:
d = 1 1 -2

Passo 4

Para saber a relação entre a reta r e o plano pi, vamos analisar o ângulo entre o vetor diretor da reta d e o vetor normal do plano n. Usamos a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = d cdot n||d|| , ||n||
Calculando o produto escalar d cdot n:
1 cdot 1 + 1 cdot (-3) + (-2) cdot (-1) = 1 - 3 + 2 = 0

Passo 5

Como o produto escalar deu zero, isso significa que o ângulo theta entre d e n é de 90 graus, ou seja, as duas vetores são perpendiculares. Quando o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano, a reta é paralela ao plano.

Resposta

A opção correta é a letra A): r é paralela a pi, mas não está contida em pi.

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