Sobre o plano e da reta : , está correto afirmar que
(A) é paralela a , mas não está contida em .
(B) está contida em .
© não é paralela e nem perpendicular a , e um vetor diretor de faz um ângulo de 45 graus com um vetor normal a .
(D) é perpendicular a .
(E) nãoo é paralela e nem perpendicular a , e um vetor diretor de faz um ângulo de 60 graus com um vetor normal a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que envolve plano e reta no espaço. O enunciado nos dá o plano e a reta definida pelas equações e . Para resolver, vamos precisar entender como verificar se uma reta é paralela, está contida ou é perpendicular a um plano. Vamos usar vetores normais e vetores diretores para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor normal ao plano . A equação do plano é , e os coeficientes de , e nos dão diretamente o vetor normal. Então, o vetor normal é:

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações que define a reta:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Simplificando:
Podemos expressar em função de :
Agora, expressamos em função de usando a primeira equação:
Então, os parâmetros da reta são:
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de :

Passo 4

Para saber a relação entre a reta e o plano , vamos analisar o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano . Usamos a fórmula do produto escalar:
Calculando o produto escalar :

Passo 5

Como o produto escalar deu zero, isso significa que o ângulo entre e é de 90 graus, ou seja, as duas vetores são perpendiculares. Quando o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano, a reta é paralela ao plano.

Resposta

A opção correta é a letra A): é paralela a , mas não está contida em .

Exercícios relacionados

Mostre que se é uma matriz escalar de ordem , então para qualquer escalar .
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(iv) Todo plano tem exatamente uma equação da forma .
Dada a elipse , esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices