Beleza, vamos resolver essa questão que envolve plano e reta no espaço. O enunciado nos dá o plano e a reta definida pelas equações e . Para resolver, vamos precisar entender como verificar se uma reta é paralela, está contida ou é perpendicular a um plano. Vamos usar vetores normais e vetores diretores para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um vetor normal ao plano . A equação do plano é , e os coeficientes de , e nos dão diretamente o vetor normal. Então, o vetor normal é:
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta r. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações que define a reta:
x + y + z = 4 x + 3y + 2z = 2
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x + 3y + 2z) - (x + y + z) = 2 - 4
Simplificando:
2y + z = -2
Podemos expressar z em função de y:
z = -2 - 2y
Agora, expressamos x em função de y usando a primeira equação:
x = 4 - y - z = 4 - y - (-2 - 2y) = 4 - y + 2 + 2y = 6 + y
Então, os parâmetros da reta são:
x = 6 + y y = y z = -2 - 2y
O vetor diretor d da reta r é dado pelos coeficientes de y:
d = 1 1 -2
Passo 4
Para saber a relação entre a reta r e o plano pi, vamos analisar o ângulo entre o vetor diretor da reta d e o vetor normal do plano n. Usamos a fórmula do produto escalar:
Como o produto escalar deu zero, isso significa que o ângulo theta entre d e n é de 90 graus, ou seja, as duas vetores são perpendiculares. Quando o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano, a reta é paralela ao plano.
Resposta
A opção correta é a letra A): r é paralela a pi, mas não está contida em pi.