Vamos começar entendendo o enunciado. Precisamos esboçar várias parábolas dadas por diferentes equações e, para cada uma delas, encontrar as coordenadas do foco e a equação da diretriz. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é , e para uma que abre para a direita ou esquerda é . A partir do coeficiente , podemos determinar a posição do foco e da diretriz.
Passo 3
Vamos aplicar esses conceitos para cada uma das equações fornecidas.
Parte (a)
Passo 4
Esta é uma parábola que abre para cima, na forma , onde .
Passo 5
A distância do vértice ao foco é . Então, .
Passo 6
O foco está localizado a essa distância acima do vértice (que é na origem). Portanto, as coordenadas do foco são .
Passo 7
A diretriz é uma linha horizontal localizada a mesma distância abaixo do vértice. Então, a equação da diretriz é .
Passo 8
Esta é uma parábola que abre para cima, na forma , onde .
Passo 9
A distância do vértice ao foco é .
Passo 10
O foco está a unidades acima do vértice. Assim, o foco é .
Passo 11
A diretriz é uma linha horizontal a unidades abaixo do vértice, ou seja, .
Passo 12
Esta parábola abre para baixo, pois o coeficiente de é negativo, na forma , com .
Passo 13
A distância do vértice ao foco é .
Passo 14
Como abre para baixo, o foco está abaixo do vértice. Então, o foco é .
Passo 15
A diretriz será uma linha horizontal acima do vértice, então .
Passo 16
Esta é uma parábola que abre para cima, na forma , onde .
Passo 17
A distância do vértice ao foco é .
Passo 18
O foco está a 2 unidades acima do vértice, então .
Passo 19
A diretriz é uma linha horizontal 2 unidades abaixo do vértice, ou seja, .
Passo 20
Esta é uma parábola que abre para a direita, na forma , onde .
Passo 21
A distância do vértice ao foco é .
Passo 22
O foco está a unidades à direita do vértice, então .
Passo 23
A diretriz será uma linha vertical à esquerda do vértice, então .
Passo 24
Esta parábola abre para a esquerda, pois o coeficiente de é negativo, na forma , com .
Passo 25
A distância do vértice ao foco é .
Passo 26
Como abre para a esquerda, o foco está a unidades à esquerda do vértice, então .
Passo 27
A diretriz será uma linha vertical à direita do vértice, então .
Passo 28
Esta parábola abre para cima, na forma , comparando com , temos , então .
Passo 29
A distância do vértice ao foco é .
Passo 30
O foco está a unidades acima do vértice, então .
Passo 31
A diretriz é uma linha horizontal abaixo do vértice, então .
Passo 32
Esta parábola abre para a direita, na forma , comparando com , temos , então .
Passo 33
A distância do vértice ao foco é .
Passo 34
O foco está a unidades à direita do vértice, então .
Passo 35
A diretriz é uma linha vertical à esquerda do vértice, então .
Resposta
Para a parábola :
Foco:
Diretriz:
Resumo Final
Todas as parábolas foram analisadas, identificando o foco e a diretriz para cada uma com base na sua equação específica.