Esboce cada uma das parábolas, indicando as coordenadas do foco e a equação da diretriz.
(a) y=8 x^2
(d) y=18 x^2
(g) x^2=2 y
(b) y=2 x^2
(e) x=6 y^2
© y=-4 x^2
(f) x=-8 y^2
(h) y^2=3 x

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Precisamos esboçar várias parábolas dadas por diferentes equações e, para cada uma delas, encontrar as coordenadas do foco e a equação da diretriz. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é , e para uma que abre para a direita ou esquerda é . A partir do coeficiente , podemos determinar a posição do foco e da diretriz.

Passo 3

Vamos aplicar esses conceitos para cada uma das equações fornecidas.

Parte (a)

Passo 4

Esta é uma parábola que abre para cima, na forma , onde .

Passo 5

A distância do vértice ao foco é . Então, .

Passo 6

O foco está localizado a essa distância acima do vértice (que é na origem). Portanto, as coordenadas do foco são .

Passo 7

A diretriz é uma linha horizontal localizada a mesma distância abaixo do vértice. Então, a equação da diretriz é .

Passo 8

Esta é uma parábola que abre para cima, na forma , onde .

Passo 9

A distância do vértice ao foco é .

Passo 10

O foco está a unidades acima do vértice. Assim, o foco é .

Passo 11

A diretriz é uma linha horizontal a unidades abaixo do vértice, ou seja, .

Passo 12

Esta parábola abre para baixo, pois o coeficiente de é negativo, na forma , com .

Passo 13

A distância do vértice ao foco é .

Passo 14

Como abre para baixo, o foco está abaixo do vértice. Então, o foco é .

Passo 15

A diretriz será uma linha horizontal acima do vértice, então .

Passo 16

Esta é uma parábola que abre para cima, na forma , onde .

Passo 17

A distância do vértice ao foco é .

Passo 18

O foco está a 2 unidades acima do vértice, então .

Passo 19

A diretriz é uma linha horizontal 2 unidades abaixo do vértice, ou seja, .

Passo 20

Esta é uma parábola que abre para a direita, na forma , onde .

Passo 21

A distância do vértice ao foco é .

Passo 22

O foco está a unidades à direita do vértice, então .

Passo 23

A diretriz será uma linha vertical à esquerda do vértice, então .

Passo 24

Esta parábola abre para a esquerda, pois o coeficiente de é negativo, na forma , com .

Passo 25

A distância do vértice ao foco é .

Passo 26

Como abre para a esquerda, o foco está a unidades à esquerda do vértice, então .

Passo 27

A diretriz será uma linha vertical à direita do vértice, então .

Passo 28

Esta parábola abre para cima, na forma , comparando com , temos , então .

Passo 29

A distância do vértice ao foco é .

Passo 30

O foco está a unidades acima do vértice, então .

Passo 31

A diretriz é uma linha horizontal abaixo do vértice, então .

Passo 32

Esta parábola abre para a direita, na forma , comparando com , temos , então .

Passo 33

A distância do vértice ao foco é .

Passo 34

O foco está a unidades à direita do vértice, então .

Passo 35

A diretriz é uma linha vertical à esquerda do vértice, então .

Resposta

Para a parábola :
  • Foco:
  • Diretriz:

Resumo Final

Todas as parábolas foram analisadas, identificando o foco e a diretriz para cada uma com base na sua equação específica.

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