Esboce cada uma das parábolas, indicando as coordenadas do foco e a equação da diretriz.
(a)
(d)
(g)
(b)
(e)
©
(f)
(h)
(a)
(d)
(g)
(b)
(e)
©
(f)
(h)
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Precisamos esboçar várias parábolas dadas por diferentes equações e, para cada uma delas, encontrar as coordenadas do foco e a equação da diretriz. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é
, e para uma que abre para a direita ou esquerda é
. A partir do coeficiente
, podemos determinar a posição do foco e da diretriz.
Passo 3
Vamos aplicar esses conceitos para cada uma das equações fornecidas.
Parte (a)
Passo 4
Esta é uma parábola que abre para cima, na forma
, onde
.
Passo 5
A distância do vértice ao foco é
. Então,
.
Passo 6
O foco está localizado a essa distância acima do vértice (que é na origem). Portanto, as coordenadas do foco são
.
Passo 7
A diretriz é uma linha horizontal localizada a mesma distância abaixo do vértice. Então, a equação da diretriz é
.
Passo 8
Esta é uma parábola que abre para cima, na forma
, onde
.
Passo 9
A distância do vértice ao foco é
.
Passo 10
O foco está a
unidades acima do vértice. Assim, o foco é
.
Passo 11
A diretriz é uma linha horizontal a
unidades abaixo do vértice, ou seja,
.
Passo 12
Esta parábola abre para baixo, pois o coeficiente de
é negativo, na forma
, com
.
Passo 13
A distância do vértice ao foco é
.
Passo 14
Como abre para baixo, o foco está abaixo do vértice. Então, o foco é
.
Passo 15
A diretriz será uma linha horizontal acima do vértice, então
.
Passo 16
Esta é uma parábola que abre para cima, na forma
, onde
.
Passo 17
A distância do vértice ao foco é
.
Passo 18
O foco está a 2 unidades acima do vértice, então
.
Passo 19
A diretriz é uma linha horizontal 2 unidades abaixo do vértice, ou seja,
.
Passo 20
Esta é uma parábola que abre para a direita, na forma
, onde
.
Passo 21
A distância do vértice ao foco é
.
Passo 22
O foco está a
unidades à direita do vértice, então
.
Passo 23
A diretriz será uma linha vertical à esquerda do vértice, então
.
Passo 24
Esta parábola abre para a esquerda, pois o coeficiente de
é negativo, na forma
, com
.
Passo 25
A distância do vértice ao foco é
.
Passo 26
Como abre para a esquerda, o foco está a
unidades à esquerda do vértice, então
.
Passo 27
A diretriz será uma linha vertical à direita do vértice, então
.
Passo 28
Esta parábola abre para cima, na forma
, comparando com
, temos
, então
.
Passo 29
A distância do vértice ao foco é
.
Passo 30
O foco está a
unidades acima do vértice, então
.
Passo 31
A diretriz é uma linha horizontal abaixo do vértice, então
.
Passo 32
Esta parábola abre para a direita, na forma
, comparando com
, temos
, então
.
Passo 33
A distância do vértice ao foco é
.
Passo 34
O foco está a
unidades à direita do vértice, então
.
Passo 35
A diretriz é uma linha vertical à esquerda do vértice, então
.
Resposta
Para a parábola
:
- Foco:
- Diretriz:
Resumo Final
Todas as parábolas foram analisadas, identificando o foco e a diretriz para cada uma com base na sua equação específica.