Encontre o conjunto de todos os vetores em tal que , em que é o vetor nulo em .
Determine a imagem (ou espaço coluna) da matriz :
Encontre o conjunto de todos os vetores em tal que existe um vetor em com
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para trabalhar com a matriz de ordem . Precisamos determinar duas coisas: o núcleo (ou kernel) de e a imagem (ou espaço coluna) de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, espaços vetoriais, e operações com matrizes. Vamos precisar montar e resolver sistemas de equações lineares para encontrar os vetores que satisfazem e para descrever os possíveis vetores no espaço coluna de .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores tal que . Isso significa que precisamos resolver o sistema linear homogêneo:
Passo 3
Vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada e fazer a redução para escalonamento:
Subtraindo a primeira linha da terceira para eliminar :
Passo 4
Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos à terceira:
Dividindo a terceira linha por 2 para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos voltar substituindo para encontrar as variáveis livres. Da terceira linha, temos:
Da segunda linha:
Da primeira linha:
Passo 6
Assim, expressamos todas as variáveis em termos de :
Podemos representar o vetor como:
Passo 7
Então, o núcleo de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor , ou seja:
ú
Passo 8
Agora, vamos determinar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Isso equivale a encontrar o espaço gerado pelas colunas de .
A matriz é:
Passo 9
Para encontrar a imagem, vamos identificar quais colunas são linearmente independentes. Nossa meta é encontrar uma base para o espaço coluna de .
Observando as colunas:
Vamos verificar se alguma coluna pode ser escrita como combinação linear das anteriores.
Passo 10
Notamos que :
ãé
Na verdade, isso não é verdade. Vamos tentar outra abordagem usando a redução da matriz.
Passo 11
Vamos montar a matriz com as colunas e realizar a redução para encontrar a posição de pivôs:
Subtraindo a primeira linha da terceira:
Multiplicando a segunda linha por 2 e somando à terceira:
Dividindo a terceira linha por 2:
Passo 12
Como temos pivôs nas primeiras três colunas, isso significa que as primeiras três colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem de .
Assim, a imagem de é o espaço gerado pelas colunas e :