Considere a matriz A de ordem 3 times 4 dada por:
A=(llll 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 1 & 0 & 1 & 2 )
  1. Determine o núcleo (kernel) da matriz A :
  • Encontre o conjunto de todos os vetores x em R^4 tal que A x=0, em que 0 é o vetor nulo em R^3.
  1. Determine a imagem (ou espaço coluna) da matriz A :
  • Encontre o conjunto de todos os vetores b em R^3 tal que existe um vetor x em R^4 com A x=b

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para trabalhar com a matriz de ordem . Precisamos determinar duas coisas: o núcleo (ou kernel) de e a imagem (ou espaço coluna) de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, espaços vetoriais, e operações com matrizes. Vamos precisar montar e resolver sistemas de equações lineares para encontrar os vetores que satisfazem e para descrever os possíveis vetores no espaço coluna de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 0x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 = 0 1x1 + 0x2 + 1x3 + 2x4 = 0 , que é o conjunto de todos os vetores tal que . Isso significa que precisamos resolver o sistema linear homogêneo:

Passo 3

Vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada e fazer a redução para escalonamento:
[cccc|c 1 & 2 & 3 & 4 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 1 & 0 & 1 & 2 & 0 ]
Subtraindo a primeira linha da terceira para eliminar [cccc|c 1 & 2 & 3 & 4 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 0 & -2 & -2 & -2 & 0 ] :

Passo 4

Agora, vamos eliminar o [cccc|c 1 & 2 & 3 & 4 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 0 & 0 & 2 & 4 & 0 ] da terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos à terceira:
[cccc|c 1 & 2 & 3 & 4 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 ]
Dividindo a terceira linha por 2 para simplificar:

Passo 5

Agora, vamos voltar substituindo para encontrar as variáveis livres. Da terceira linha, temos:
x3 + 2x4 = 0 implies x3 = -2x4
Da segunda linha:
x2 + 2x3 + 3x4 = 0 implies x2 + 2(-2x4) + 3x4 = x2 - 4x4 + 3x4 = x2 - x4 = 0 implies x2 = x4
Da primeira linha:
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 implies x1 + 2x4 + 3(-2x4) + 4x4 = x1 + 2x4 - 6x4 + 4x4 = x1 = 0

Passo 6

Assim, expressamos todas as variáveis em termos de x1 = 0, x2 = x4, x3 = -2x4, x4 = x4 :
x = 0 x4 -2x4 x4 = x4 0 1 -2 1
Podemos representar o vetor como:

Passo 7

Então, o núcleo de 0 1 -2 1 é o conjunto de todos os múltiplos do vetor Núc<=o de A = x4 0 1 -2 1 mid x4 in R , ou seja:
ú

Passo 8

Agora, vamos determinar a imagem de A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 1 & 0 & 1 & 2 , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Isso equivale a encontrar o espaço gerado pelas colunas de .
A matriz é:

Passo 9

Para encontrar a imagem, vamos identificar quais colunas são linearmente independentes. Nossa meta é encontrar uma base para o espaço coluna de c1 = 1 0 1 , c2 = 2 1 0 , c3 = 3 2 1 , c4 = 4 3 2 .
Observando as colunas:
Vamos verificar se alguma coluna pode ser escrita como combinação linear das anteriores.

Passo 10

Notamos que 3 2 1 = 1 0 1 + 2 1 0 = 3 1 1 (Aparentemente não é igual) :
ãé
Na verdade, isso não é verdade. Vamos tentar outra abordagem usando a redução da matriz.

Passo 11

Vamos montar a matriz com as colunas e realizar a redução para encontrar a posição de pivôs:
[cccc 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 1 & 0 & 1 & 2 ]
Subtraindo a primeira linha da terceira:
[cccc 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & -2 & -2 & -2 ]
Multiplicando a segunda linha por 2 e somando à terceira:
[cccc 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 2 & 4 ]
Dividindo a terceira linha por 2:
[cccc 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 2 ]

Passo 12

Como temos pivôs nas primeiras três colunas, isso significa que as primeiras três colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem de Ima>=m de A = Espaço Coluna de A = span 1 0 1 , 2 1 0 , 3 2 1 .
Assim, a imagem de é o espaço gerado pelas colunas e :
ç

Resposta

  1. Núcleo de Núc<=o de A = x4 0 1 -2 1 mid x4 in R :
Ima>=m de A = span 1 0 1 , 2 1 0 , 3 2 1 ú
  1. Imagem de :

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