Considere a matriz de ordem dada por:
  1. Determine o núcleo (kernel) da matriz :
  • Encontre o conjunto de todos os vetores em tal que , em que é o vetor nulo em .
  1. Determine a imagem (ou espaço coluna) da matriz :
  • Encontre o conjunto de todos os vetores em tal que existe um vetor em com

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para trabalhar com a matriz de ordem . Precisamos determinar duas coisas: o núcleo (ou kernel) de e a imagem (ou espaço coluna) de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, espaços vetoriais, e operações com matrizes. Vamos precisar montar e resolver sistemas de equações lineares para encontrar os vetores que satisfazem e para descrever os possíveis vetores no espaço coluna de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores tal que . Isso significa que precisamos resolver o sistema linear homogêneo:

Passo 3

Vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada e fazer a redução para escalonamento:
Subtraindo a primeira linha da terceira para eliminar :

Passo 4

Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos à terceira:
Dividindo a terceira linha por 2 para simplificar:

Passo 5

Agora, vamos voltar substituindo para encontrar as variáveis livres. Da terceira linha, temos:
Da segunda linha:
Da primeira linha:

Passo 6

Assim, expressamos todas as variáveis em termos de :
Podemos representar o vetor como:

Passo 7

Então, o núcleo de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor , ou seja:
ú

Passo 8

Agora, vamos determinar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Isso equivale a encontrar o espaço gerado pelas colunas de .
A matriz é:

Passo 9

Para encontrar a imagem, vamos identificar quais colunas são linearmente independentes. Nossa meta é encontrar uma base para o espaço coluna de .
Observando as colunas:
Vamos verificar se alguma coluna pode ser escrita como combinação linear das anteriores.

Passo 10

Notamos que :
ãé
Na verdade, isso não é verdade. Vamos tentar outra abordagem usando a redução da matriz.

Passo 11

Vamos montar a matriz com as colunas e realizar a redução para encontrar a posição de pivôs:
Subtraindo a primeira linha da terceira:
Multiplicando a segunda linha por 2 e somando à terceira:
Dividindo a terceira linha por 2:

Passo 12

Como temos pivôs nas primeiras três colunas, isso significa que as primeiras três colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem de .
Assim, a imagem de é o espaço gerado pelas colunas e :
ç

Resposta

  1. Núcleo de :
ú
  1. Imagem de :

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Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vi) Se uma reta é paralela ao vetor normal de um plano, então ela é paralela ao plano.
Verifique que os vetores e formam uma base ortonormal de com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, expresse o vetor dado como uma combinação linear de e :
Esboce cada uma das parábolas, indicando as coordenadas do foco e a equação da diretriz.
(a)
(d)
(g)
(b)
(e)
©
(f)
(h)
Considere as retas e . Mostre que e são retas reversas. Encontre o ponto da reta mais próximo do ponto . Encontre dois pontos e cuja distância seja a menor possível.