Encontre o conjunto de todos os vetores x em R^4 tal que A x=0, em que 0 é o vetor nulo em R^3.
Determine a imagem (ou espaço coluna) da matriz A :
Encontre o conjunto de todos os vetores b em R^3 tal que existe um vetor x em R^4 com A x=b
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para trabalhar com a matriz de ordem . Precisamos determinar duas coisas: o núcleo (ou kernel) de e a imagem (ou espaço coluna) de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, espaços vetoriais, e operações com matrizes. Vamos precisar montar e resolver sistemas de equações lineares para encontrar os vetores que satisfazem e para descrever os possíveis vetores no espaço coluna de .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 0x1 + 1x2 + 2x3 + 3x4 = 0 1x1 + 0x2 + 1x3 + 2x4 = 0 , que é o conjunto de todos os vetores tal que . Isso significa que precisamos resolver o sistema linear homogêneo:
Passo 3
Vamos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada e fazer a redução para escalonamento:
Assim, expressamos todas as variáveis em termos de x1 = 0, x2 = x4, x3 = -2x4, x4 = x4 :
x = 0 x4 -2x4 x4 = x4 0 1 -2 1
Podemos representar o vetor como:
Passo 7
Então, o núcleo de 0 1 -2 1 é o conjunto de todos os múltiplos do vetor Núc<=o de A = x4 0 1 -2 1 mid x4 in R , ou seja:
ú
Passo 8
Agora, vamos determinar a imagem de A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 1 & 0 & 1 & 2 , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Isso equivale a encontrar o espaço gerado pelas colunas de .
A matriz é:
Passo 9
Para encontrar a imagem, vamos identificar quais colunas são linearmente independentes. Nossa meta é encontrar uma base para o espaço coluna de c1 = 1 0 1 , c2 = 2 1 0 , c3 = 3 2 1 , c4 = 4 3 2 .
Observando as colunas:
Vamos verificar se alguma coluna pode ser escrita como combinação linear das anteriores.
Passo 10
Notamos que 3 2 1 = 1 0 1 + 2 1 0 = 3 1 1 (Aparentemente não é igual) :
ãé
Na verdade, isso não é verdade. Vamos tentar outra abordagem usando a redução da matriz.
Passo 11
Vamos montar a matriz com as colunas e realizar a redução para encontrar a posição de pivôs:
Multiplicando a segunda linha por 2 e somando à terceira:
[cccc 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 2 & 4 ]
Dividindo a terceira linha por 2:
[cccc 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 2 ]
Passo 12
Como temos pivôs nas primeiras três colunas, isso significa que as primeiras três colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem de Ima>=m de A = Espaço Coluna de A = span 1 0 1 , 2 1 0 , 3 2 1 .
Assim, a imagem de é o espaço gerado pelas colunas e :