Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vii) A reta interseção de dois planos (não paralelos) é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente mostre se a afirmação “a reta de interseção de dois planos não paralelos é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos” é verdadeira ou falsa. Vamos trabalhar com geometria analítica aqui. Precisamos entender o que são planos, vetores normais e como eles se relacionam quando os planos se intersectam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano no espaço tridimensional pode ser definido por uma equação do tipo:
Ax + By + Cz + D = 0
Aqui, o vetor é o vetor normal ao plano, ou seja, é um vetor perpendicular ao plano.

Passo 3

Quando temos dois planos que não são paralelos, eles vão se intersectar ao longo de uma reta. A direção dessa reta de interseção está relacionada aos vetores normais dos dois planos. Para encontrar a direção dessa reta, a gente usa o produto vetorial dos vetores normais.

Passo 4

O produto vetorial de dois vetores d = n1 times n2 = ( B1C2 - C1B2, C1A2 - A1C2, A1B2 - B1A2 ) e é dado por:
Esse vetor é direção da reta de interseção dos dois planos.

Passo 5

Agora, vamos verificar se esse vetor d cdot n1 = 0 e d cdot n2 = 0 é ortogonal aos vetores normais e . Para isso, calculamos o produto escalar:
Se ambos os produtos escalares forem zero, significa que é perpendicular a e .

Passo 6

Vamos fazer as contas:
d cdot n1 = (B1C2 - C1B2)A1 + (C1A2 - A1C2)B1 + (A1B2 - B1A2)C1
Ao expandir e simplificar, percebemos que todos os termos se cancelam, resultando em zero. O mesmo acontece para .

Passo 7

Portanto, o vetor direção da reta de interseção é de fato perpendicular aos vetores normais dos dois planos. Isso confirma que a afirmação do enunciado é verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira: a reta de interseção de dois planos não paralelos é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.

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