Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vii) A reta interseção de dois planos (não paralelos) é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.
(vii) A reta interseção de dois planos (não paralelos) é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente mostre se a afirmação “a reta de interseção de dois planos não paralelos é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos” é verdadeira ou falsa. Vamos trabalhar com geometria analítica aqui. Precisamos entender o que são planos, vetores normais e como eles se relacionam quando os planos se intersectam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um plano no espaço tridimensional pode ser definido por uma equação do tipo:
Aqui, o vetor
é o vetor normal ao plano, ou seja, é um vetor perpendicular ao plano.
Passo 3
Quando temos dois planos que não são paralelos, eles vão se intersectar ao longo de uma reta. A direção dessa reta de interseção está relacionada aos vetores normais dos dois planos. Para encontrar a direção dessa reta, a gente usa o produto vetorial dos vetores normais.
Passo 4
O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Esse vetor
é direção da reta de interseção dos dois planos.
Passo 5
Agora, vamos verificar se esse vetor
é ortogonal aos vetores normais
e
. Para isso, calculamos o produto escalar:
Se ambos os produtos escalares forem zero, significa que
é perpendicular a
e
.
Passo 6
Vamos fazer as contas:
Ao expandir e simplificar, percebemos que todos os termos se cancelam, resultando em zero. O mesmo acontece para
.
Passo 7
Portanto, o vetor direção da reta de interseção é de fato perpendicular aos vetores normais dos dois planos. Isso confirma que a afirmação do enunciado é verdadeira.
Resposta
A afirmação é verdadeira: a reta de interseção de dois planos não paralelos é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.
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Determine os pontos em que a reta
intercepta a elipse
20. Esboce ambos os gráficos no mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção.
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(i) Se uma reta é paralela a um plano, ela nunca intercepta o plano.
(i) Se uma reta é paralela a um plano, ela nunca intercepta o plano.
Sejam
e
matrizes
de um espaço vetorial
com produto interno
, calcule
em cada caso:
Seja
. Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a
em relação ao produto interno do Exercício anterior.