Sejam
e
matrizes
de um espaço vetorial
com produto interno
, calcule
em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas matrizes quadradas
e
de tamanho
no espaço vetorial
. O produto interno entre essas matrizes é definido pela fórmula
, onde
representa a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto interno utilizando essa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta
de uma matriz
é obtida trocando suas linhas pelas colunas. Por exemplo, se
é:
então sua transposta
é:
Passo 3
Depois de obter a transposta de
, multiplicamos
por
. A multiplicação de duas matrizes é feita multiplicando as linhas de
pelas colunas de
. Para matrizes
, fica assim:
Passo 4
Agora, aplicamos a função traço
, que soma os elementos da diagonal principal da matriz resultante
. No nosso exemplo:
Passo 5
Simplificando, o produto interno
é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das matrizes
e
. Para matrizes
, a fórmula geral fica:
Isso significa que multiplicamos cada elemento de
pelo correspondente em
e somamos tudo.
Resposta
O produto interno entre as matrizes
e
é dado por:
Exercícios relacionados
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vii) A reta interseção de dois planos (não paralelos) é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.
(vii) A reta interseção de dois planos (não paralelos) é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.
Determine os pontos em que a reta
intercepta a elipse
20. Esboce ambos os gráficos no mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção.
Seja
. Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a
em relação ao produto interno do Exercício anterior.
Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
.