Sejam e matrizes de um espaço vetorial com produto interno , calcule em cada caso:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas matrizes quadradas e de tamanho no espaço vetorial . O produto interno entre essas matrizes é definido pela fórmula , onde representa a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto interno utilizando essa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas pelas colunas. Por exemplo, se é:
então sua transposta é:

Passo 3

Depois de obter a transposta de , multiplicamos por . A multiplicação de duas matrizes é feita multiplicando as linhas de pelas colunas de . Para matrizes , fica assim:

Passo 4

Agora, aplicamos a função traço , que soma os elementos da diagonal principal da matriz resultante . No nosso exemplo:

Passo 5

Simplificando, o produto interno é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das matrizes e . Para matrizes , a fórmula geral fica:
Isso significa que multiplicamos cada elemento de pelo correspondente em e somamos tudo.

Resposta

O produto interno entre as matrizes e é dado por:

Exercícios relacionados

Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vii) A reta interseção de dois planos (não paralelos) é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.
Determine os pontos em que a reta intercepta a elipse 20. Esboce ambos os gráficos no mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção.
Seja . Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a em relação ao produto interno do Exercício anterior.
Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta .