Sejam U e V matrizes n times n de um espaço vetorial Mn n com produto interno lang<= U, Vrang<==tr(U^T V), calcule lang<= u, vrang<= em cada caso:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas matrizes quadradas U e V de tamanho n times n no espaço vetorial Mnn. O produto interno entre essas matrizes é definido pela fórmula lang<= U, Vrang<= = tr(U^T V), onde tr representa a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto interno utilizando essa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta U^T de uma matriz U é obtida trocando suas linhas pelas colunas. Por exemplo, se U é:
U = u11 & u12 u21 & u22
então sua transposta U^T é:
U^T = u11 & u21 u12 & u22

Passo 3

Depois de obter a transposta de U, multiplicamos U^T por V. A multiplicação de duas matrizes é feita multiplicando as linhas de U^T pelas colunas de V. Para matrizes 2 times 2, fica assim:
U^T V = u11v11 + u21v12 & u11v21 + u21v22 u12v11 + u22v12 & u12v21 + u22v22

Passo 4

Agora, aplicamos a função traço tr, que soma os elementos da diagonal principal da matriz resultante U^T V. No nosso exemplo:
tr(U^T V) = (u11v11 + u21v12) + (u12v21 + u22v22)

Passo 5

Simplificando, o produto interno lang<= U, V rang<= é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das matrizes U e V. Para matrizes n times n, a fórmula geral fica:
lang<= U, V rang<= = sumi=1^n sumj=1^n uij vij
Isso significa que multiplicamos cada elemento de U pelo correspondente em V e somamos tudo.

Resposta

O produto interno entre as matrizes U e V é dado por:
lang<= U, V rang<= = tr(U^T V) = sumi=1^n sumj=1^n uij vij

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