Determine os pontos em que a reta intercepta a elipse 20. Esboce ambos os gráficos no mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar onde a reta cruza a elipse . A matéria aqui envolve sistemas de equações e geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar resolver o sistema formado pela reta e pela elipse para achar os pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar uma das variáveis da reta em termos da outra. Vou escolher isolar o na equação da reta:
Assim, agora temos em função de .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de na equação da elipse. A ideia aqui é que qualquer ponto que está na interseção deve satisfazer as duas equações. Então, substituindo:

Passo 4

Vamos expandir o quadrado:
Substituindo de volta na equação da elipse:

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
Agora, vamos simplificar a equação subtraindo 20 de ambos os lados:

Passo 6

Para facilitar, vamos dividir toda a equação por 8:
Agora, temos uma equação quadrática mais simples para resolver.

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática . Podemos fatorar assim:
Então, as soluções são:

Passo 8

Com os valores de em mãos, vamos encontrar os correspondentes usando a equação que isolamos anteriormente: .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos de interseção são e . Ao esboçar a reta e a elipse no mesmo sistema de coordenadas, esses são os pontos onde elas se encontram.

Exercícios relacionados

Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(i) Se uma reta é paralela a um plano, ela nunca intercepta o plano.
Considere os planos e .
(i) Mostre que e são concorrentes.
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vii) A reta interseção de dois planos (não paralelos) é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.
Sejam e matrizes de um espaço vetorial com produto interno , calcule em cada caso: