Determine os pontos em que a reta x+2 y=6 intercepta a elipse x^2+4 y^2= 20. Esboce ambos os gráficos no mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar onde a reta cruza a elipse . A matéria aqui envolve sistemas de equações e geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar resolver o sistema formado pela reta e pela elipse para achar os pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar uma das variáveis da reta em termos da outra. Vou escolher isolar o x = 6 - 2y na equação da reta:
Assim, agora temos em função de .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de (6 - 2y)^2 + 4y^2 = 20 na equação da elipse. A ideia aqui é que qualquer ponto que está na interseção deve satisfazer as duas equações. Então, substituindo:

Passo 4

Vamos expandir o quadrado:
(6 - 2y)^2 = 36 - 24y + 4y^2
Substituindo de volta na equação da elipse:
36 - 24y + 4y^2 + 4y^2 = 20

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
8y^2 - 24y + 36 = 20
Agora, vamos simplificar a equação subtraindo 20 de ambos os lados:
8y^2 - 24y + 16 = 0

Passo 6

Para facilitar, vamos dividir toda a equação por 8:
y^2 - 3y + 2 = 0
Agora, temos uma equação quadrática mais simples para resolver.

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática (y - 1)(y - 2) = 0 . Podemos fatorar assim:
y = 1 ou y = 2
Então, as soluções são:

Passo 8

Com os valores de x = 6 - 2(1) = 4 em mãos, vamos encontrar os correspondentes x = 6 - 2(2) = 2 usando a equação que isolamos anteriormente: .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos de interseção são e . Ao esboçar a reta e a elipse no mesmo sistema de coordenadas, esses são os pontos onde elas se encontram.

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