Determine os pontos em que a reta
intercepta a elipse
20. Esboce ambos os gráficos no mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar onde a reta
cruza a elipse
. A matéria aqui envolve sistemas de equações e geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar resolver o sistema formado pela reta e pela elipse para achar os pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar uma das variáveis da reta em termos da outra. Vou escolher isolar o
na equação da reta:
Assim, agora temos
em função de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão de
na equação da elipse. A ideia aqui é que qualquer ponto que está na interseção deve satisfazer as duas equações. Então, substituindo:
Passo 4
Vamos expandir o quadrado:
Substituindo de volta na equação da elipse:
Passo 5
Vamos combinar os termos semelhantes:
Agora, vamos simplificar a equação subtraindo 20 de ambos os lados:
Passo 6
Para facilitar, vamos dividir toda a equação por 8:
Agora, temos uma equação quadrática mais simples para resolver.
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorar assim:
Então, as soluções são:
Passo 8
Com os valores de
em mãos, vamos encontrar os correspondentes
usando a equação que isolamos anteriormente:
.
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos de interseção são
e
. Ao esboçar a reta
e a elipse
no mesmo sistema de coordenadas, esses são os pontos onde elas se encontram.