Seja
. Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a
em relação ao produto interno do Exercício anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz
e pede para verificar se outras matrizes são ortogonais a
em relação a um produto interno específico que foi definido no exercício anterior. Então, nosso conteúdo aqui envolve matrizes, produto interno e ortogonalidade no contexto de álgebra linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular o produto interno entre duas matrizes e depois verificar se esse produto é zero, que é a condição para que elas sejam ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é produto interno no contexto de matrizes. O produto interno padrão entre duas matrizes
e
de mesma dimensão é geralmente definido como a soma dos produtos dos elementos correspondentes:
Esse produto interno nos dá um número real. Se esse número for zero, dizemos que as matrizes
e
são ortogonais entre si.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. Queremos verificar se uma matriz
é ortogonal a
. Então, vamos calcular
e ver se é igual a zero.
Vamos supor que a matriz
que queremos verificar seja:
Nosso objetivo é encontrar as condições que
e
devem satisfazer para que
e
sejam ortogonais.
Passo 4
Vamos calcular o produto interno
:
Ou seja:
Para que
e
sejam ortogonais, esse valor deve ser igual a zero:
Passo 5
Portanto, qualquer matriz
que satisfaça a equação
será ortogonal a
em relação ao produto interno definido.
Resposta
Qualquer matriz
que satisfizer a equação
é ortogonal a
em relação ao produto interno dado. Logo, para verificar a ortogonalidade, basta conferir se essa condição é atendida.
Exercícios relacionados
Sejam
e
matrizes
de um espaço vetorial
com produto interno
, calcule
em cada caso:
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vii) A reta interseção de dois planos (não paralelos) é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.
(vii) A reta interseção de dois planos (não paralelos) é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.
Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
.
Sejam
. As retas
e
definidas por
são ortogonais se, e somente se,
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)