Seja A=[cc3 & -2 4 & 8]. Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a A em relação ao produto interno do Exercício anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz 3 & -2 4 & 8 e pede para verificar se outras matrizes são ortogonais a em relação a um produto interno específico que foi definido no exercício anterior. Então, nosso conteúdo aqui envolve matrizes, produto interno e ortogonalidade no contexto de álgebra linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular o produto interno entre duas matrizes e depois verificar se esse produto é zero, que é a condição para que elas sejam ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é produto interno no contexto de matrizes. O produto interno padrão entre duas matrizes lang<= A, B rang<= = sumi,j Aij cdot Bij e de mesma dimensão é geralmente definido como a soma dos produtos dos elementos correspondentes:
Esse produto interno nos dá um número real. Se esse número for zero, dizemos que as matrizes e são ortogonais entre si.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. Queremos verificar se uma matriz B = a & b c & d é ortogonal a . Então, vamos calcular e ver se é igual a zero.
Vamos supor que a matriz que queremos verificar seja:
Nosso objetivo é encontrar as condições que e devem satisfazer para que e sejam ortogonais.

Passo 4

Vamos calcular o produto interno lang<= A, B rang<= = (3)(a) + (-2)(b) + (4)(c) + (8)(d) :
lang<= A, B rang<= = 3a - 2b + 4c + 8d
Ou seja:
3a - 2b + 4c + 8d = 0
Para que e sejam ortogonais, esse valor deve ser igual a zero:

Passo 5

Portanto, qualquer matriz a & b c & d que satisfaça a equação será ortogonal a em relação ao produto interno definido.

Resposta

Qualquer matriz a & b c & d que satisfizer a equação é ortogonal a em relação ao produto interno dado. Logo, para verificar a ortogonalidade, basta conferir se essa condição é atendida.

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