Seja . Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a em relação ao produto interno do Exercício anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz e pede para verificar se outras matrizes são ortogonais a em relação a um produto interno específico que foi definido no exercício anterior. Então, nosso conteúdo aqui envolve matrizes, produto interno e ortogonalidade no contexto de álgebra linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular o produto interno entre duas matrizes e depois verificar se esse produto é zero, que é a condição para que elas sejam ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é produto interno no contexto de matrizes. O produto interno padrão entre duas matrizes e de mesma dimensão é geralmente definido como a soma dos produtos dos elementos correspondentes:
Esse produto interno nos dá um número real. Se esse número for zero, dizemos que as matrizes e são ortogonais entre si.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. Queremos verificar se uma matriz é ortogonal a . Então, vamos calcular e ver se é igual a zero.
Vamos supor que a matriz que queremos verificar seja:
Nosso objetivo é encontrar as condições que e devem satisfazer para que e sejam ortogonais.

Passo 4

Vamos calcular o produto interno :
Ou seja:
Para que e sejam ortogonais, esse valor deve ser igual a zero:

Passo 5

Portanto, qualquer matriz que satisfaça a equação será ortogonal a em relação ao produto interno definido.

Resposta

Qualquer matriz que satisfizer a equação é ortogonal a em relação ao produto interno dado. Logo, para verificar a ortogonalidade, basta conferir se essa condição é atendida.

Exercícios relacionados

Sejam e matrizes de um espaço vetorial com produto interno , calcule em cada caso:
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vii) A reta interseção de dois planos (não paralelos) é ortogonal a ambos os vetores normais dos planos.
Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta .
Sejam . As retas e definidas por
são ortogonais se, e somente se,
(A)
(B)
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(D)
(E)