Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(viii) Uma reta ortogonal ao vetor normal de um plano tem que ser paralela ao plano.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Uma reta ortogonal ao vetor normal de um plano tem que ser paralela ao plano.” Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com planos e vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos entender o que significa uma reta ser ortogonal a um vetor e como isso se relaciona com a paralelismo em relação a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor normal de um plano é um vetor que é perpendicular a todos os vetores que estão no plano. Se temos um vetor normal para um plano, qualquer vetor que esteja no plano satisfaz , onde representa o produto escalar.
Passo 3
Agora, uma reta é definida por um ponto inicial e uma direção, que pode ser representada por um vetor diretor . Se uma reta é ortogonal ao vetor normal , isso significa que o vetor diretor é perpendicular a . Portanto, .
Passo 4
Como , sabemos que está no plano, já que é perpendicular ao vetor normal. Isso implica que a reta não está se movendo em uma direção perpendicular ao plano, mas sim dentro dele.
Passo 5
Se a reta está dentro do plano, ela não é paralela ao plano, mas sim contida nele. Duas entidades são paralelas se nunca se encontram e não se intersectam, mas uma reta contida no plano intersecta o plano em todos os seus pontos.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, considere o plano com vetor normal . Uma reta com direção é ortogonal a e está contida no plano, não sendo paralela a ele.