Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(viii) Uma reta ortogonal ao vetor normal de um plano tem que ser paralela ao plano.
(viii) Uma reta ortogonal ao vetor normal de um plano tem que ser paralela ao plano.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Uma reta ortogonal ao vetor normal de um plano tem que ser paralela ao plano.” Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com planos e vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos entender o que significa uma reta ser ortogonal a um vetor e como isso se relaciona com a paralelismo em relação a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor normal de um plano é um vetor que é perpendicular a todos os vetores que estão no plano. Se temos um vetor normal
para um plano, qualquer vetor
que esteja no plano satisfaz
, onde
representa o produto escalar.
Passo 3
Agora, uma reta é definida por um ponto inicial e uma direção, que pode ser representada por um vetor diretor
. Se uma reta é ortogonal ao vetor normal
, isso significa que o vetor diretor
é perpendicular a
. Portanto,
.
Passo 4
Como
, sabemos que
está no plano, já que é perpendicular ao vetor normal. Isso implica que a reta não está se movendo em uma direção perpendicular ao plano, mas sim dentro dele.
Passo 5
Se a reta está dentro do plano, ela não é paralela ao plano, mas sim contida nele. Duas entidades são paralelas se nunca se encontram e não se intersectam, mas uma reta contida no plano intersecta o plano em todos os seus pontos.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, considere o plano
com vetor normal
. Uma reta com direção
é ortogonal a
e está contida no plano, não sendo paralela a ele.