Considere as retas e .
(ii) Dê uma equação geral para os planos tais que é paralelo a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica envolvendo retas e planos no espaço tridimensional. A questão pede para encontrar equações gerais de dois planos, e , de forma que:
A reta está dentro do plano .
A reta está dentro do plano .
O plano é paralelo ao plano .
Para resolver isso, vamos precisar revisar conceitos de vetores diretores de retas, normal de planos e condições para paralelismo entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as retas e .
A reta é dada por:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor de .
A reta é dada por:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor de .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as equações dos planos e .
Para isso, precisamos de um ponto e de um vetor normal a cada plano. Sabemos que a reta está dentro de , então o vetor diretor de deve estar no plano . O mesmo vale para a reta no plano .
Além disso, como é paralelo a , os vetores normais desses planos devem ser paralelos, ou seja, um é múltiplo do outro.
Passo 4
Vamos encontrar o vetor normal de . Como contém a reta , precisamos de outro vetor que esteja em . Podemos usar o vetor que liga dois pontos de , por exemplo.
Mas para simplificar, vamos considerar que precisamos de um vetor normal que seja perpendicular ao vetor diretor de . Suponha que o vetor normal de seja . Então, temos:
Isso porque é perpendicular ao vetor diretor .
Passo 5
De maneira similar, para , que contém a reta , o vetor normal deve ser perpendicular ao vetor diretor de :
Passo 6
Como é paralelo a , os vetores normais e devem ser paralelos. Então, podemos escrever:
Passo 7
Agora, temos as seguintes condições:
Então, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores diretores e .
Passo 8
Para encontrar , podemos resolver o seguinte sistema de equações:
Da segunda equação, temos .
Substituindo na primeira equação:
Então, o vetor normal pode ser escrito em termos de :
Podemos escolher para simplificar, então:
Passo 9
Agora que temos o vetor normal , podemos escrever a equação do plano . Sabemos que contém o ponto . A equação geral do plano é:
Onde é o ponto no plano.
Então:
Expandindo:
Ou seja:
Essa é a equação geral de .
Passo 10
Para o plano , que é paralelo a , ele terá o mesmo vetor normal ou múltiplo dele. Então, a equação geral de será: