Considere as retas
e
.
(ii) Dê uma equação geral para os planos
tais que
é paralelo a
.
(ii) Dê uma equação geral para os planos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica envolvendo retas e planos no espaço tridimensional. A questão pede para encontrar equações gerais de dois planos,
e
, de forma que:
- A reta
está dentro do plano . - A reta
está dentro do plano . - O plano
é paralelo ao plano .
Para resolver isso, vamos precisar revisar conceitos de vetores diretores de retas, normal de planos e condições para paralelismo entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as retas
e
.
A reta
é dada por:
Aqui,
é um ponto da reta e
é o vetor diretor de
.
A reta
é dada por:
Aqui,
é um ponto da reta e
é o vetor diretor de
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as equações dos planos
e
.
Para isso, precisamos de um ponto e de um vetor normal a cada plano. Sabemos que a reta
está dentro de
, então o vetor diretor de
deve estar no plano
. O mesmo vale para a reta
no plano
.
Além disso, como
é paralelo a
, os vetores normais desses planos devem ser paralelos, ou seja, um é múltiplo do outro.
Passo 4
Vamos encontrar o vetor normal de
. Como
contém a reta
, precisamos de outro vetor que esteja em
. Podemos usar o vetor que liga dois pontos de
, por exemplo.
Mas para simplificar, vamos considerar que precisamos de um vetor normal que seja perpendicular ao vetor diretor de
. Suponha que o vetor normal de
seja
. Então, temos:
Isso porque
é perpendicular ao vetor diretor
.
Passo 5
De maneira similar, para
, que contém a reta
, o vetor normal
deve ser perpendicular ao vetor diretor de
:
Passo 6
Como
é paralelo a
, os vetores normais
e
devem ser paralelos. Então, podemos escrever:
Passo 7
Agora, temos as seguintes condições:
Então, precisamos encontrar um vetor
que seja perpendicular a ambos os vetores diretores
e
.
Passo 8
Para encontrar
, podemos resolver o seguinte sistema de equações:
Da segunda equação, temos
.
Substituindo na primeira equação:
Então, o vetor normal
pode ser escrito em termos de
:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 9
Agora que temos o vetor normal
, podemos escrever a equação do plano
. Sabemos que
contém o ponto
. A equação geral do plano é:
Onde
é o ponto no plano.
Então:
Expandindo:
Ou seja:
Essa é a equação geral de
.
Passo 10
Para o plano
, que é paralelo a
, ele terá o mesmo vetor normal ou múltiplo dele. Então, a equação geral de
será:
Precisamos encontrar um ponto
que está na reta
:
Então, podemos usar o ponto
para
:
Essa é a equação geral de
.
Resposta
As equações gerais dos planos são: