Considere as retas r: X=(1,0,1)+lambda(1,1,1)(lambda in R) e s: X=(1,1,1)+mu(1,0,-1)(mu in R).
(ii) Dê uma equação geral para os planos pi1 e pi2 tais que r subset pi1, s subset pi2 e pi1 é paralelo a pi2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica envolvendo retas e planos no espaço tridimensional. A questão pede para encontrar equações gerais de dois planos, e , de forma que:
  • A reta está dentro do plano .
  • A reta está dentro do plano .
  • O plano é paralelo ao plano .
Para resolver isso, vamos precisar revisar conceitos de vetores diretores de retas, normal de planos e condições para paralelismo entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as retas r: X = (1, 0, 1) + lambda (1, 1, 1), lambda in R e s: X = (1, 1, 1) + mu (1, 0, -1), mu in R .
A reta é dada por:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor de .
A reta é dada por:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as equações dos planos e .
Para isso, precisamos de um ponto e de um vetor normal a cada plano. Sabemos que a reta está dentro de , então o vetor diretor de deve estar no plano . O mesmo vale para a reta no plano .
Além disso, como é paralelo a , os vetores normais desses planos devem ser paralelos, ou seja, um é múltiplo do outro.

Passo 4

Vamos encontrar o vetor normal de n cdot (1, 1, 1) = 0 . Como contém a reta , precisamos de outro vetor que esteja em . Podemos usar o vetor que liga dois pontos de , por exemplo.
Mas para simplificar, vamos considerar que precisamos de um vetor normal que seja perpendicular ao vetor diretor de . Suponha que o vetor normal de seja . Então, temos:
Isso porque é perpendicular ao vetor diretor .

Passo 5

De maneira similar, para m cdot (1, 0, -1) = 0 , que contém a reta , o vetor normal deve ser perpendicular ao vetor diretor de :

Passo 6

Como m = k n, k in R setminus 0 é paralelo a , os vetores normais e devem ser paralelos. Então, podemos escrever:

Passo 7

Agora, temos as seguintes condições:
n cdot (1, 1, 1) = 0
k n cdot (1, 0, -1) = 0 implies n cdot (1, 0, -1) = 0
Então, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores diretores e .

Passo 8

Para encontrar n1 + n2 + n3 = 0 n1 - n3 = 0 , podemos resolver o seguinte sistema de equações:
n1 + n2 + n1 = 0 implies 2n1 + n2 = 0 implies n2 = -2n1
Da segunda equação, temos n = (n1, -2n1, n1) = n1 (1, -2, 1) .
Substituindo na primeira equação:
n = (1, -2, 1)
Então, o vetor normal pode ser escrito em termos de :
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 9

Agora que temos o vetor normal n cdot (X - X0) = 0 , podemos escrever a equação do plano (1, -2, 1) cdot ( (x, y, z) - (1, 0, 1) ) = 0 . Sabemos que 1(x - 1) - 2(y - 0) + 1(z - 1) = 0 contém o ponto x - 1 - 2y + z - 1 = 0 . A equação geral do plano é:
x - 2y + z - 2 = 0
Onde x - 2y + z = 2 é o ponto no plano.
Então:
Expandindo:
Ou seja:
Essa é a equação geral de .

Passo 10

Para o plano 1(x - x0) - 2(y - y0) + 1(z - z0) = 0 , que é paralelo a s: X = (1, 1, 1) + mu (1, 0, -1) , ele terá o mesmo vetor normal ou múltiplo dele. Então, a equação geral de 1(x - 1) - 2(y - 1) + 1(z - 1) = 0 será:
x - 1 - 2y + 2 + z - 1 = 0
Precisamos encontrar um ponto x - 2y + z = 0 que está na reta :
Então, podemos usar o ponto para :
Essa é a equação geral de .

Resposta

As equações gerais dos planos são:
pi1: x - 2y + z = 2
pi2: x - 2y + z = 0

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