Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano pi nos seguintes casos:
(a) r:lx=3 lambda y=1-2 lambda e pi: 2 x+3 y-2 z-7=0 z=-lambda;
(b) r:lx=4+lambda y=3+2 lambda z=-2-3 lambda e lx=2+lambda+2 mu y=-3-lambda-mu z=1+3 lambda-3 mu.

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois casos onde precisamos descobrir onde uma reta intercepta um plano ou outra reta. No primeiro caso, a gente tem uma reta e um plano, e no segundo, duas retas para ver se elas se cruzam. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre interseção de retas e planos. Precisamos usar as equações paramétricas das retas e a equação geral do plano.

Passo 2

Caso (a):
Temos a reta x = 3lambda y = 1 - 2lambda z = -lambda definida por:
2x + 3y - 2z - 7 = 0
E o plano definido por:
Para encontrar o ponto de interseção, vamos substituir as expressões de , e da reta na equação do plano.

Passo 3

Substituindo na equação do plano:
2(3lambda) + 3(1 - 2lambda) - 2(-lambda) - 7 = 0
Vamos resolver isso para encontrar o valor de .

Passo 4

Calculando:
6lambda + 3 - 6lambda + 2lambda - 7 = 0
Simplificando:
(6lambda - 6lambda + 2lambda) + (3 - 7) = 0 2lambda - 4 = 0 2lambda = 4 lambda = 2

Passo 5

Agora que encontramos x = 3 times 2 = 6 y = 1 - 2 times 2 = -3 z = -2 , vamos substituir esse valor nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Passo 6

Caso (b):
Temos duas retas:
r1: x = 4 + lambda y = 3 + 2lambda z = -2 - 3lambda
r2: x = 2 + lambda + 2mu y = -3 - lambda - mu z = 1 + 3lambda - 3mu
Queremos encontrar o ponto onde elas se interceptam, se houver.

Passo 7

Para que as retas se interceptem, as coordenadas , e devem ser iguais para algum par de parâmetros e . Vamos igualar as equações:

Passo 8

Resolvendo a primeira equação:
4 + lambda = 2 + lambda + 2mu 4 - 2 = 2mu 2 = 2mu mu = 1

Passo 9

Substituindo 3 + 2lambda = -3 - lambda - 1 3 + 2lambda = -4 - lambda 2lambda + lambda = -4 - 3 3lambda = -7 lambda = -73 na segunda equação:

Passo 10

Agora, vamos verificar na terceira equação se os valores encontrados satisfazem:
-2 - 3(-73) = 1 + 3(-73) - 3(1) -2 + 7 = 1 - 7 - 3 5 = -9
Isso não é verdade, então não há interseção entre as duas retas.

Resposta

(a) O ponto de interseção é .
(b) As retas não se interceptam.

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