Em cada caso, determinar as derivadas parciais f_x, f_y, f_z da função dada:
g) f = 1 / raiz(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos a função . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a , e , ou seja, , e . Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções compostas e aplicar a regra do poder.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Podemos expressar como:
Dessa forma, fica mais fácil aplicar a regra do poder, que nos ajuda a derivar funções da forma , onde é uma função de outras variáveis.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aplicando a regra do poder:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a usando o mesmo método:
Simplificando:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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