Determine se a sequência ann in N converge ou diverge e se a série sumn=1^infty an converge ou diverge.
(d) an=n-13 n-1. (a sequência converge para 13 e a série diverge.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge e também se a série converge ou diverge. A sequência dada é .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência . Para saber se ela converge, precisamos encontrar o limite quando tende ao infinito.

Passo 3

Para calcular o limite de an = n-13n-1 = n(1 - 1n)n(3 - 1n) = 1 - 1n3 - 1n quando vai para o infinito, vamos dividir numerador e denominador por :

Passo 4

Agora, ao fazer limn to infty an = 1 - 03 - 0 = 13 tendendo ao infinito, os termos vão para zero. Assim, temos:
Isso mostra que a sequência converge para .

Passo 5

Agora, vamos analisar a série . Para verificar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Divergência.

Passo 6

O Teste da Divergência diz que se o limite de limn to infty an = 13 neq 0 quando vai para o infinito não for zero, a série diverge. Já vimos que:

Passo 7

Como o limite dos termos da série não é zero, concluímos que a série diverge.

Resposta

A sequência converge para e a série diverge.

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