Use testes para verificação de convergência e divergência.
(g) sumn=1^infty(-1)^n-1 e^2n. (diverge-teste da divergência.)

Passo 1

Vamos analisar a série . Estamos trabalhando com séries infinitas e vamos usar o teste da divergência para verificar se essa série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o teste da divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série, , quando tende ao infinito, não for zero, então a série diverge. Em outras palavras, se , a série não converge.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, . Nosso objetivo é calcular .

Passo 4

Vamos calcular o limite de limn to infty (-1)^n-1 e^2n quando limn to infty e^2n = e^0 = 1 tende ao infinito:
Primeiro, analisamos . Sabemos que quando aumenta, tende a zero. Então,

Passo 5

Agora, olhamos para . Esse termo alterna entre 1 e -1 conforme aumenta. Ou seja, não tem um limite fixo quando tende ao infinito; ele continua oscilando.

Passo 6

Combinando as duas partes, temos:
limn to infty (-1)^n-1 e^2n = limn to infty (-1)^n-1 cdot 1
Como não tende a um valor fixo, o limite não existe ou não é igual a zero.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência.

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