Determine se a série converge ou diverge:
© sumn=1^infty(3pi)^n. (converge para 3pi-3.)

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty(3pi)^n converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de Séries Geométricas, e para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma série geométrica e qual é a condição para ela convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série geométrica. Isso porque cada termo da série é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante fixa, que chamamos de razão ( r). No nosso caso, a razão é 3pi.

Passo 3

Agora, vamos relembrar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita. Uma série geométrica da forma sumn=1^infty r^n converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, se |r| < 1. Quando converge, a soma da série é dada por:
S = r1 - r

Passo 4

Vamos verificar se nossa série satisfaz a condição de convergência. A razão aqui é r = 3pi. Sabemos que pi approx 3,1416, então:
3pi approx 33,1416 approx 0,9549
Como 0,9549 < 1, a condição |r| < 1 é satisfeita. Portanto, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula que mencionamos:
S = r1 - r = 3pi1 - 3pi = 3pi - 3

Resposta

A série sumn=1^infty(3pi)^n converge e a soma dela é igual a 3pi - 3.

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