Determine se a série converge ou diverge:
© . (converge para .)

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de Séries Geométricas, e para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma série geométrica e qual é a condição para ela convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série geométrica. Isso porque cada termo da série é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante fixa, que chamamos de razão ( ). No nosso caso, a razão é .

Passo 3

Agora, vamos relembrar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita. Uma série geométrica da forma converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, se . Quando converge, a soma da série é dada por:

Passo 4

Vamos verificar se nossa série satisfaz a condição de convergência. A razão aqui é . Sabemos que , então:
Como , a condição é satisfeita. Portanto, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula que mencionamos:

Resposta

A série converge e a soma dela é igual a .

Exercícios relacionados

Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
g)
Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge.
(d) . (a sequência converge para e a série diverge.)
Use testes para verificação de convergência e divergência.
(g) . (diverge-teste da divergência.)
Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(a) e .)