Determine se a série converge ou diverge:
©
. (converge para
.)
©
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de Séries Geométricas, e para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma série geométrica e qual é a condição para ela convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série geométrica. Isso porque cada termo da série é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante fixa, que chamamos de razão (
). No nosso caso, a razão é
.
Passo 3
Agora, vamos relembrar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita. Uma série geométrica da forma
converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, se
. Quando converge, a soma da série é dada por:
Passo 4
Vamos verificar se nossa série satisfaz a condição de convergência. A razão aqui é
. Sabemos que
, então:
Como
, a condição
é satisfeita. Portanto, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula que mencionamos:
Resposta
A série
converge e a soma dela é igual a
.