Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge.
(b) . (a sequência converge para 0 e a série converge para .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa ver se a sequência converge ou diverge e também se a série converge ou diverge. A sequência é dada por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites para sequências e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência . Para saber se ela converge, precisamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Podemos simplificar a expressão:

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo . Sabemos que se a base dessa potência tiver módulo menor que 1, o termo tende a zero quando vai para o infinito. No caso:
Portanto,
Multiplicando por , temos:

Passo 4

Agora que sabemos que a sequência converge para 0, vamos verificar a série . Observamos que a série é geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante .
A série geral de uma série geométrica é:
Onde é o primeiro termo e é a razão.
No nosso caso, reescrevendo a série a partir de :
Podemos identificar que:
  • Primeiro termo
  • Razão

Passo 5

Para uma série geométrica convergir, o módulo da razão deve ser menor que 1:
Como , a série converge.

Passo 6

Para encontrar a soma da série convergente, usamos a fórmula da soma da série geométrica:
Substituindo os valores:

Resposta

A sequência converge para e a série converge para .

Exercícios relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge com o seguinte termo geral:
(a) . (converge para 1
Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
d)
. Determine .
Determine se a série converge ou diverge:
(g) . (converge.)