Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge.
(b) . (a sequência converge para 0 e a série converge para .)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa ver se a sequência converge ou diverge e também se a série converge ou diverge. A sequência é dada por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites para sequências e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência. Para saber se ela converge, precisamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Podemos simplificar a expressão:
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo . Sabemos que se a base dessa potência tiver módulo menor que 1, o termo tende a zero quando vai para o infinito. No caso:
Portanto,
Multiplicando por , temos:
Passo 4
Agora que sabemos que a sequência converge para 0, vamos verificar a série. Observamos que a série é geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante .
A série geral de uma série geométrica é:
Onde é o primeiro termo e é a razão.
No nosso caso, reescrevendo a série a partir de :
Podemos identificar que:
Primeiro termo
Razão
Passo 5
Para uma série geométrica convergir, o módulo da razão deve ser menor que 1:
Como , a série converge.
Passo 6
Para encontrar a soma da série convergente, usamos a fórmula da soma da série geométrica:
Substituindo os valores:
Resposta
A sequência converge para e a série converge para .