Determine se a sequência ann in N converge ou diverge e se a série sumn=1^infty an converge ou diverge.
(b) an=(-3)^n-14^n. (a sequência converge para 0 e a série converge para 17.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa ver se a sequência an converge ou diverge e também se a série sumn=1^infty an converge ou diverge. A sequência é dada por:
an = (-3)^n-14^n
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites para sequências e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência an. Para saber se ela converge, precisamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty an = limn to infty (-3)^n-14^n
Podemos simplificar a expressão:
(-3)^n-14^n = (-3)^n-14^n-1 cdot 4 = (-34)^n-1 cdot 14

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo (-34)^n-1. Sabemos que se a base dessa potência tiver módulo menor que 1, o termo tende a zero quando n vai para o infinito. No caso:
|-34| = 34 < 1
Portanto,
limn to infty (-34)^n-1 = 0
Multiplicando por 14, temos:
limn to infty an = 0 cdot 14 = 0

Passo 4

Agora que sabemos que a sequência an converge para 0, vamos verificar a série sumn=1^infty an. Observamos que a série é geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante r.
A série geral de uma série geométrica é:
sumn=0^infty ar^n
Onde a é o primeiro termo e r é a razão.
No nosso caso, reescrevendo a série a partir de n=1:
sumn=1^infty (-3)^n-14^n = sumn=1^infty (-34)^n-1 cdot 14
Podemos identificar que:
  • Primeiro termo a = 14
  • Razão r = -34

Passo 5

Para uma série geométrica convergir, o módulo da razão r deve ser menor que 1:
|r| = |-34| = 34 < 1
Como |r| < 1, a série converge.

Passo 6

Para encontrar a soma da série convergente, usamos a fórmula da soma da série geométrica:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 141 - (-34) = 141 + 34 = 1474 = 17

Resposta

A sequência an converge para 0 e a série sumn=1^infty an converge para 17.

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