Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge.
(b) . (a sequência converge para 0 e a série converge para .)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa ver se a sequência converge ou diverge e também se a série converge ou diverge. A sequência é dada por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites para sequências e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência. Para saber se ela converge, precisamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Podemos simplificar a expressão:
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo . Sabemos que se a base dessa potência tiver módulo menor que 1, o termo tende a zero quando vai para o infinito. No caso:
Portanto,
limn to infty (-34)^n-1 = 0
Multiplicando por 14, temos:
limn to infty an = 0 cdot 14 = 0
Passo 4
Agora que sabemos que a sequência an converge para 0, vamos verificar a sériesumn=1^infty an. Observamos que a série é geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante r.
A série geral de uma série geométrica é:
sumn=0^infty ar^n
Onde a é o primeiro termo e r é a razão.
No nosso caso, reescrevendo a série a partir de n=1: