Em cada caso, determinar as derivadas parciais f_x, f_y, f_z da função dada:
c) f = (x + y) / (y + z)

Passo 1

Então, a gente tem uma função e precisa encontrar as derivadas parciais , e . Aqui, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que mostram como a função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Como só aparece no numerador, a gente trata e como constantes. A derivada de em relação a é 1, e o denominador fica constante. Então:

Passo 3

Agora, vamos achar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, está tanto no numerador quanto no denominador, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que:
Onde e . Calculando e :
Aplicando na regra do quociente:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Assim como em , está no denominador, então usamos novamente a regra do quociente. e . Calculando e :
Aplicando na regra do quociente:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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