Mostrar que a função
admite máximo local no ponto
.
Resp.: O valor máximo (local) de f é
.
Resp.: O valor máximo (local) de f é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos mostrar que ela tem um máximo local no ponto
. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso nos ajuda a localizar os pontos críticos, onde as derivadas são zero ou não existem.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora vamos avaliar essas derivadas em
para verificar se são iguais a zero, indicando um ponto crítico.
Calculando
:
Calculando
:
Como ambas as derivadas parciais em
são zero,
é um ponto crítico.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela, vamos usar a segunda derivada e o discriminante
.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
Calculando em
:
Passo 5
Agora, calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Resposta
O valor máximo local de
é
.
Exercícios relacionados
Determinar os pontos críticos da função
. Examinar cada um deles e dizer se há máximo ou mínimo local. Resp.: Os pontos críticos são
e
. Em
existe mínimo local; em
tem-se um ponto de sela.
Calcule a integral iterada de
para
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
j)
j)
Em cada caso, determinar as derivadas parciais
da função dada:
c)
c)