Mostrar que a função f(x, y) = x^3 * y^2 * (6 - x - y) admite máximo local no ponto p = (3, 2).
Resp.: O valor máximo (local) de f é f(3,2) = 108.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos mostrar que ela tem um máximo local no ponto . Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso nos ajuda a localizar os pontos críticos, onde as derivadas são zero ou não existem.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora vamos avaliar essas derivadas em para verificar se são iguais a zero, indicando um ponto crítico.
Calculando :
Calculando :
Como ambas as derivadas parciais em são zero, é um ponto crítico.

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela, vamos usar a segunda derivada e o discriminante .
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
Calculando em :

Passo 5

Agora, calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que é um ponto de máximo local.

Resposta

O valor máximo local de é .

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