Calcule a integral iterada de f(x, y) = x * y * e^(y) para R = {(x, y) | 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1}

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral iterada da função sobre a região . Isso envolve o conceito de integrais duplas no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos configurar a integral dupla. Como a região é um retângulo definido por e , podemos escrever a integral iterada da seguinte forma:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Para isso, tratamos como uma constante:
Aqui, precisamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 4

Aplicando a integração por partes, escolhemos:
A fórmula de integração por partes é:

Passo 5

Aplicando a fórmula:
Multiplicando pela constante :

Passo 6

Avaliando nos limites de integração:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Integrando em relação a :

Resposta

O valor da integral iterada é .

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