Calcule a integral iterada de
para
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral iterada da função
sobre a região
. Isso envolve o conceito de integrais duplas no cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos configurar a integral dupla. Como a região
é um retângulo definido por
e
, podemos escrever a integral iterada da seguinte forma:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Para isso, tratamos
como uma constante:
Aqui, precisamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 4
Aplicando a integração por partes, escolhemos:
A fórmula de integração por partes é:
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Multiplicando pela constante
:
Passo 6
Avaliando nos limites de integração:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Integrando
em relação a
:
Resposta
O valor da integral iterada é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determinar as derivadas parciais
da função dada:
c)
c)
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
j)
j)
Calcular a derivada da função
no ponto
, na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
c) , sendo
e
c)
Examinar a função
do ponto de vista dos máximos mínimos locais.
Resp.: A função não tem máximo local, nem mínimo local, tem pontos de sela em
e
,
Resp.: A função