Calcule a integral iterada de
para
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral iterada da função
sobre a região
. Isso envolve o conceito de integrais duplas no cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos configurar a integral dupla. Como a região
é um retângulo definido por
e
, podemos escrever a integral iterada da seguinte forma:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Para isso, tratamos
como uma constante:
Aqui, precisamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 4
Aplicando a integração por partes, escolhemos:
A fórmula de integração por partes é:
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Multiplicando pela constante
:
Passo 6
Avaliando nos limites de integração:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Integrando
em relação a
:
Resposta
O valor da integral iterada é
.