Calcule a integral iterada de para

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral iterada da função sobre a região . Isso envolve o conceito de integrais duplas no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos configurar a integral dupla. Como a região é um retângulo definido por e , podemos escrever a integral iterada da seguinte forma:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Para isso, tratamos como uma constante:
Aqui, precisamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 4

Aplicando a integração por partes, escolhemos:
A fórmula de integração por partes é:

Passo 5

Aplicando a fórmula:
Multiplicando pela constante :

Passo 6

Avaliando nos limites de integração:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Integrando em relação a :

Resposta

O valor da integral iterada é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
c)
Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
j)
Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
c) , sendo e
Examinar a função do ponto de vista dos máximos mínimos locais.
Resp.: A função não tem máximo local, nem mínimo local, tem pontos de sela em e ,