Calcular a derivada da função no ponto , na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
c) , sendo e
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor , onde e . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica. Precisaremos calcular o gradiente da função no ponto dado e o vetor direcional normalizado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor . Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar o vetor para obter uma direção unitária. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo (comprimento). Calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
Primeiro, encontramos as derivadas parciais:
Agora, substituímos e :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Fazendo o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto na direção de é .