Calcular a derivada da função z = x^4 - 3*x^2*y^2 + 2*y^3 - 5*x*y + 3*x + 5 no ponto p = (-1, 2), na direção de cada um dos vetores dados a seguir:
c) AB, sendo A = (1, -3) e B = (3, -5)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor , onde e . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica. Precisaremos calcular o gradiente da função no ponto dado e o vetor direcional normalizado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor . Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor para obter uma direção unitária. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo (comprimento). Calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
Primeiro, encontramos as derivadas parciais:
Agora, substituímos e :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Fazendo o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção de é .

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