Em cada caso, determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma matriz que diagonaliza a matriz de forma ortogonal. Isso significa que vai ser uma matriz com vetores ortonormais como colunas, e quando fazemos , a matriz resultante vai ser diagonal. Para conseguir isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente relacionados a autovalores e autovetores de matrizes simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são números que satisfazem a equação:
onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
A determinante dessa matriz é:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores , , e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Isso significa resolver o sistema:
Para :
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, encontramos dois autovetores independentes, por exemplo:

Passo 4

Agora, precisamos ortogonalizar e normalizar esses autovetores para formar a matriz . Primeiro, vamos garantir que eles sejam ortogonais:
  • já é ortogonal em relação aos outros.
  • e também são ortogonais entre si.
Agora, normalizamos cada vetor:

Passo 5

Finalmente, vamos montar a matriz usando esses vetores normalizados como colunas:

Resposta

A matriz que diagonaliza ortogonalmente a matriz é:

Exercícios relacionados

Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas abaixo.
Considere a matriz . A matriz é semelhante a uma matriz diagonal? Caso sim, apresente esta matriz.
Considere as matrizes
Calcule os seguintes (quando possível).
(a)
Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
(a)