Em cada caso, determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente. (lll4 & 2 & 2 2 & 4 & 2 2 & 2 & 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A = 4 & 2 & 2 2 & 4 & 2 2 & 2 & 4 dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma matriz que diagonaliza a matriz de forma ortogonal. Isso significa que vai ser uma matriz com vetores ortonormais como colunas, e quando fazemos , a matriz resultante vai ser diagonal. Para conseguir isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente relacionados a autovalores e autovetores de matrizes simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Autovalores são números A - lambda I = 4 - lambda & 2 & 2 2 & 4 - lambda & 2 2 & 2 & 4 - lambda que satisfazem a equação:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)^3 - 12(4 - lambda) + 16 = 0
onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
A determinante dessa matriz é:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores , , e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Isso significa resolver o sistema:
(A - lambda I) x = 0
Para 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 x = 0 :
1 -1 0
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de -2 & 2 & 2 2 & -2 & 2 2 & 2 & -2 x = 0 .
Para v2 = 1 1 -2, v3 = 1 1 1 :
Resolvendo, encontramos dois autovetores independentes, por exemplo:

Passo 4

Agora, precisamos ortogonalizar e normalizar esses autovetores para formar a matriz u1 = v1|v1| = 1raiz2 1 -1 0 . Primeiro, vamos garantir que eles sejam ortogonais:
  • u2 = v2|v2| = 1raiz6 1 1 -2 já é ortogonal em relação aos outros.
  • u3 = v3|v3| = 1raiz3 1 1 1 e também são ortogonais entre si.
Agora, normalizamos cada vetor:

Passo 5

Finalmente, vamos montar a matriz P = 1raiz2 & 1raiz6 & 1raiz3 -1raiz2 & 1raiz6 & 1raiz3 0 & -2raiz6 & 1raiz3 usando esses vetores normalizados como colunas:

Resposta

A matriz P = 1raiz2 & 1raiz6 & 1raiz3 -1raiz2 & 1raiz6 & 1raiz3 0 & -2raiz6 & 1raiz3 que diagonaliza ortogonalmente a matriz é:

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