Em cada caso, determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A = 4 & 2 & 2 2 & 4 & 2 2 & 2 & 4 dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma matriz que diagonaliza a matriz de forma ortogonal. Isso significa que vai ser uma matriz com vetores ortonormais como colunas, e quando fazemos , a matriz resultante vai ser diagonal. Para conseguir isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente relacionados a autovalores e autovetores de matrizes simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Autovalores são números A - lambda I = 4 - lambda & 2 & 2 2 & 4 - lambda & 2 2 & 2 & 4 - lambda que satisfazem a equação: