Em cada caso, determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma matriz que diagonaliza a matriz de forma ortogonal. Isso significa que vai ser uma matriz com vetores ortonormais como colunas, e quando fazemos , a matriz resultante vai ser diagonal. Para conseguir isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente relacionados a autovalores e autovetores de matrizes simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são números que satisfazem a equação:
onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
A determinante dessa matriz é:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores , , e .
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Isso significa resolver o sistema:
Para :
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, encontramos dois autovetores independentes, por exemplo:
Passo 4
Agora, precisamos ortogonalizar e normalizar esses autovetores para formar a matriz . Primeiro, vamos garantir que eles sejam ortogonais:
já é ortogonal em relação aos outros.
e também são ortogonais entre si.
Agora, normalizamos cada vetor:
Passo 5
Finalmente, vamos montar a matriz usando esses vetores normalizados como colunas:
Resposta
A matriz que diagonaliza ortogonalmente a matriz é: