Considere a matriz A=(ll1 & a a & 1), a neq 0. A matriz A é semelhante a uma matriz diagonal? Caso sim, apresente esta matriz.

Passo 1

Então, temos a matriz 1 & a a & 1 , onde . Vamos verificar se essa matriz é semelhante a uma matriz diagonal. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de , que nos ajudarão a diagonalizá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores satisfazem a equação característica det( ) = 0, onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a matriz A - lambda I = 1 - lambda & a a & 1 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - a cdot a = (1 - lambda)^2 - a^2
A determinante dessa matriz é:

Passo 4

Igualando a determinante a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)^2 - a^2 = 0 (1 - lambda - a)(1 - lambda + a) = 0
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 1 + a e lambda2 = 1 - a

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para (A - lambda1 I)x = 0 1 - (1 + a) & a a & 1 - (1 + a) x1 x2 = -a & a a & -a x1 x2 = 0 0 :
1 1
Isso leva à equação (A - lambda2 I)x = 0 1 - (1 - a) & a a & 1 - (1 - a) x1 x2 = a & a a & a x1 x2 = 0 0 , ou seja, 1 -1 . Podemos escolher o autovetor como .
Para :
Isso leva à equação , ou seja, . Podemos escolher o autovetor como .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos construir a matriz diagonal P = 1 & 1 1 & -1 , D = 1 + a & 0 0 & 1 - a e a matriz de mudança de base :
A relação é , o que mostra que é semelhante a uma matriz diagonal.

Resposta

Sim, a matriz D = 1 + a & 0 0 & 1 - a é semelhante a uma matriz diagonal. A matriz diagonal correspondente é:

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