Considere a matriz . A matriz é semelhante a uma matriz diagonal? Caso sim, apresente esta matriz.
Passo 1
Então, temos a matriz , onde . Vamos verificar se essa matriz é semelhante a uma matriz diagonal. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de , que nos ajudarão a diagonalizá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores satisfazem a equação característica det() = 0, onde é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando a matriz :
A determinante dessa matriz é:
Passo 4
Igualando a determinante a zero para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Isso leva à equação , ou seja, . Podemos escolher o autovetor como .
Para :
Isso leva à equação , ou seja, . Podemos escolher o autovetor como .
Passo 6
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos construir a matriz diagonal e a matriz de mudança de base :
A relação é , o que mostra que é semelhante a uma matriz diagonal.
Resposta
Sim, a matriz é semelhante a uma matriz diagonal. A matriz diagonal correspondente é: