Considere a matriz
. A matriz
é semelhante a uma matriz diagonal? Caso sim, apresente esta matriz.
Passo 1
Então, temos a matriz
, onde
. Vamos verificar se essa matriz é semelhante a uma matriz diagonal. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de
, que nos ajudarão a diagonalizá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Os autovalores
satisfazem a equação característica det(
) = 0, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando a matriz
:
A determinante dessa matriz é:
Passo 4
Igualando a determinante a zero para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Isso leva à equação
, ou seja,
. Podemos escolher o autovetor como
.
Para
:
Isso leva à equação
, ou seja,
. Podemos escolher o autovetor como
.
Passo 6
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos construir a matriz diagonal
e a matriz de mudança de base
:
A relação é
, o que mostra que
é semelhante a uma matriz diagonal.
Resposta
Sim, a matriz
é semelhante a uma matriz diagonal. A matriz diagonal correspondente é: