Considere a matriz . A matriz é semelhante a uma matriz diagonal? Caso sim, apresente esta matriz.

Passo 1

Então, temos a matriz , onde . Vamos verificar se essa matriz é semelhante a uma matriz diagonal. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de , que nos ajudarão a diagonalizá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores satisfazem a equação característica det( ) = 0, onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a matriz :
A determinante dessa matriz é:

Passo 4

Igualando a determinante a zero para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Isso leva à equação , ou seja, . Podemos escolher o autovetor como .
Para :
Isso leva à equação , ou seja, . Podemos escolher o autovetor como .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos construir a matriz diagonal e a matriz de mudança de base :
A relação é , o que mostra que é semelhante a uma matriz diagonal.

Resposta

Sim, a matriz é semelhante a uma matriz diagonal. A matriz diagonal correspondente é:

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