Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo para encontrar a área da região delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos utilizar conceitos de integração entre curvas, que fazem parte do conteúdo de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se intersectam, ou seja, onde . Encontrar esses pontos de interseção é essencial porque eles nos dão os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Vamos resolver a equação . Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por :
Explicando, ao eliminar os denominadores, a equação fica mais fácil de resolver.

Passo 4

Expandindo a equação:
Isso é uma equação polinomial de quarto grau, mas podemos simplificar fazendo uma substituição. Vamos chamar , então a equação vira:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Como e quadrado de número não pode ser negativo, descartamos . Portanto, , o que resulta em .

Passo 6

Agora sabemos que as curvas se intersectam em e . Para determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo, vamos avaliar as funções em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, em :
Portanto, está acima de entre e .

Passo 7

A área é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de a :

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Portanto,

Passo 9

Calculando nos limites de integração:
Para :
Para :
Substituindo na expressão da área:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
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e .
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e .
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e .