Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo para encontrar a área da região delimitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos utilizar conceitos de integração entre curvas, que fazem parte do conteúdo de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se intersectam, ou seja, onde
. Encontrar esses pontos de interseção é essencial porque eles nos dão os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Vamos resolver a equação
. Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por
:
Explicando, ao eliminar os denominadores, a equação fica mais fácil de resolver.
Passo 4
Expandindo a equação:
Isso é uma equação polinomial de quarto grau, mas podemos simplificar fazendo uma substituição. Vamos chamar
, então a equação vira:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Como
e quadrado de número não pode ser negativo, descartamos
. Portanto,
, o que resulta em
.
Passo 6
Agora sabemos que as curvas se intersectam em
e
. Para determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo, vamos avaliar as funções em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, em
:
Portanto,
está acima de
entre
e
.
Passo 7
A área
é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de
a
:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Portanto,
Passo 9
Calculando nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Substituindo na expressão da área:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.
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e
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