Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas , e . Estamos trabalhando com cálculo de áreas entre curvas, e para isso vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e, em seguida, calcular as integrais apropriadas para determinar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam. Isso significa que precisamos resolver as equações para quando é igual em duas curvas diferentes.

Passo 3

Vamos encontrar as interseções entre e :
Resolvendo essa equação:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as interseções entre e :
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
As soluções são e .

Passo 5

Agora, temos os pontos de interseção:
  • Entre e : e
  • Entre e : e
Isso nos indica que a região limitada pelas três curvas está entre e para as primeiras duas curvas, e entre e para as últimas duas. Precisamos determinar qual curva está acima da outra em cada intervalo para calcular a área corretamente.

Passo 6

Vamos analisar o intervalo a :
  • Para entre 0 e 2, e . Como é menor que , a curva está acima de .
  • A curva cruza ambas as funções nesse intervalo. Precisamos dividir o intervalo em partes onde cada curva está acima.

Passo 7

Para simplificar, podemos observar que a interseção entre e ocorre em e , e entre e em e . Portanto, a região de interesse comum está entre e , onde as três curvas se intersectam.

Passo 8

Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as curvas superiores e inferiores no intervalo de a .
As curvas superiores e inferiores nesse intervalo são:
  • De a , está acima de .
Portanto, a área é dada por:

Passo 9

Vamos calcular a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Agora, avaliamos de 0 a 2:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Se for uma função derivável tal que para todo , encontre .