Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
e
. Estamos trabalhando com cálculo de áreas entre curvas, e para isso vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e, em seguida, calcular as integrais apropriadas para determinar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam. Isso significa que precisamos resolver as equações para quando
é igual em duas curvas diferentes.
Passo 3
Vamos encontrar as interseções entre
e
:
Resolvendo essa equação:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as interseções entre
e
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
As soluções são
e
.
Passo 5
Agora, temos os pontos de interseção:
- Entre
e : e - Entre
e : e
Isso nos indica que a região limitada pelas três curvas está entre
e
para as primeiras duas curvas, e entre
e
para as últimas duas. Precisamos determinar qual curva está acima da outra em cada intervalo para calcular a área corretamente.
Passo 6
Vamos analisar o intervalo
a
:
-
Para
entre 0 e 2, e . Como é menor que , a curva está acima de . -
A curva
cruza ambas as funções nesse intervalo. Precisamos dividir o intervalo em partes onde cada curva está acima.
Passo 7
Para simplificar, podemos observar que a interseção entre
e
ocorre em
e
, e entre
e
em
e
. Portanto, a região de interesse comum está entre
e
, onde as três curvas se intersectam.
Passo 8
Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as curvas superiores e inferiores no intervalo de
a
.
As curvas superiores e inferiores nesse intervalo são:
- De
a , está acima de .
Portanto, a área
é dada por:
Passo 9
Vamos calcular a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Agora, avaliamos de 0 a 2:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.
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Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
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e
.
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e
.
Se
for uma função derivável tal que
para todo
, encontre
.