Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo. e .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas , , e pela reta . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, onde calculamos a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, temos que descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre e para . Isso vai determinar os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Sabemos que , então substituímos:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 4
Agora, usamos a identidade trigonométrica para substituir na equação:
Isso nos leva a uma equação quadrática em termos de :
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar a fração:
Rearranjando:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Isso dá duas soluções:
Como não pode ser menor que -1 ou maior que 1, descartamos . Então, .
Passo 6
Sabemos que ocorre em no intervalo . Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 7
Agora que temos os limites de integração, de a , precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo para configurar a integral corretamente.
Calculando em :
Então, está acima de nesse intervalo.
Passo 8
A área é dada pela integral da função superior menos a função inferior, de a :
Passo 9
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Sabemos que , então:
Simplificando:
Passo 10
Agora, juntando as duas partes:
Podemos simplificar racionalizando:
Então:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.