Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas , , e pela reta . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, onde calculamos a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, temos que descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre e para . Isso vai determinar os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Sabemos que , então substituímos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Agora, usamos a identidade trigonométrica para substituir na equação:
Isso nos leva a uma equação quadrática em termos de :
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar a fração:
Rearranjando:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Isso dá duas soluções:
Como não pode ser menor que -1 ou maior que 1, descartamos . Então, .

Passo 6

Sabemos que ocorre em no intervalo . Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 7

Agora que temos os limites de integração, de a , precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo para configurar a integral corretamente.
Calculando em :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 8

A área é dada pela integral da função superior menos a função inferior, de a :

Passo 9

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Sabemos que , então:
Simplificando:

Passo 10

Agora, juntando as duas partes:
Podemos simplificar racionalizando:
Então:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Se for uma função derivável tal que para todo , encontre .
Se , onde é uma função contínua, ache .