Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente encontrar a área da região que fica entre as curvas e . A gente vai usar cálculo, mais especificamente integrais, pra resolver isso. Primeiro, vamos descobrir onde essas curvas se cruzam, depois vamos ver qual está acima da outra pra montar a integral certinha.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos onde as curvas se interceptam. Isso acontece quando e são verdadeiras ao mesmo tempo. Então, substituímos uma na outra:
Rearranjando, temos:
Isso nos dá as soluções e . Agora, encontramos os valores de correspondentes:
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos ver qual curva está acima da outra entre e . Vamos resolver para :
E já está resolvido. Então, para cada valor de entre 0 e 1, é maior que . Isso significa que está à direita de . Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre essas duas funções em relação a .

Passo 4

A fórmula para a área entre duas curvas que são funções de é:
Á
Aqui, e , com limites de integração de a . Então, nossa integral fica:
Á

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos :
Depois, integramos :
Agora, colocamos tudo junto:
Á

Passo 6

Vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :
Então, a área é:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
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e .
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e .
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e .