Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente encontrar a área da região que fica entre as curvas
e
. A gente vai usar cálculo, mais especificamente integrais, pra resolver isso. Primeiro, vamos descobrir onde essas curvas se cruzam, depois vamos ver qual está acima da outra pra montar a integral certinha.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos onde as curvas se interceptam. Isso acontece quando
e
são verdadeiras ao mesmo tempo. Então, substituímos uma na outra:
Rearranjando, temos:
Isso nos dá as soluções
e
. Agora, encontramos os valores de
correspondentes:
- Para
: - Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos ver qual curva está acima da outra entre
e
. Vamos resolver
para
:
E
já está resolvido. Então, para cada valor de
entre 0 e 1,
é maior que
. Isso significa que
está à direita de
. Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre essas duas funções em relação a
.
Passo 4
A fórmula para a área entre duas curvas que são funções de
é:
Aqui,
e
, com limites de integração de
a
. Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos
:
Depois, integramos
:
Agora, colocamos tudo junto:
Passo 6
Vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Então, a área é:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
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