Se
for uma função derivável tal que
para todo
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a função
que é derivável e que satisfaz a igualdade:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial e Integral, especificamente com integrais definidas e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se
, então
.
No nosso caso, temos:
Vamos denotar
. Então, pela regra acima:
Mas também sabemos que
. Portanto, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Então,
Passo 4
A equação
é uma equação diferencial simples. Para encontrar
, basta integrar ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos determinar a constante
. Vamos usar a condição inicial que temos no enunciado: quando
:
Sabemos que a integral de 0 a 0 é 0, então:
Isso implica que
. Substituindo na expressão de
:
Resposta
A função
é dada por:
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Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Se
, onde
é uma função contínua, ache
.
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.