Se for uma função derivável tal que para todo , encontre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a função que é derivável e que satisfaz a igualdade:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial e Integral, especificamente com integrais definidas e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se , então .
No nosso caso, temos:
Vamos denotar . Então, pela regra acima:
Mas também sabemos que . Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Então,

Passo 4

A equação é uma equação diferencial simples. Para encontrar , basta integrar ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos determinar a constante . Vamos usar a condição inicial que temos no enunciado: quando :
Sabemos que a integral de 0 a 0 é 0, então:
Isso implica que . Substituindo na expressão de :

Resposta

A função é dada por:

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Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Se , onde é uma função contínua, ache .
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .