Se f for uma função derivável tal que integral0^x f(t) d t=[f(x)]^2 para todo x, encontre f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a função integral0^x f(t) , dt = [f(x)]^2 para todo x que é derivável e que satisfaz a igualdade:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial e Integral, especificamente com integrais definidas e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se integral0^x f(t) , dt = [f(x)]^2 , então F'(x) = 2 f(x) f'(x) .
No nosso caso, temos:
2 f(x) f'(x) = f(x)
Vamos denotar . Então, pela regra acima:
Mas também sabemos que . Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação:
2 f(x) f'(x) = f(x)
Podemos dividir ambos os lados por 2 f'(x) = 1 (desde que f'(x) = 12 ):
Então,

Passo 4

A equação f(x) = integral 12 , dx = 12 x + C é uma equação diferencial simples. Para encontrar , basta integrar ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos determinar a constante integral0^0 f(t) , dt = [f(0)]^2 . Vamos usar a condição inicial que temos no enunciado: quando 0 = [f(0)]^2 :
f(0) = 12 cdot 0 + C = 0 Rightarrow C = 0
Sabemos que a integral de 0 a 0 é 0, então:
Isso implica que . Substituindo na expressão de :

Resposta

A função f(x) = 12 x é dada por:

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