Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área de uma região no plano que está limitada por três curvas: , , e , considerando só os valores de que são maiores ou iguais a zero. Esse tipo de problema utiliza conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar o trabalho. Vamos resolver cada uma para :

  1. Dividindo ambos os lados por 9:

  2. Dividindo ambos os lados por 4:

  3. Essa já está resolvida para .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Vamos igualar as funções duas a duas:
Primeiro, igualando :
Subtraindo de ambos os lados:
Encontrando um denominador comum para os termos com :
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Então, eles se cruzam quando .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção entre e :
Multiplicando tudo por 9 para eliminar o denominador:
Subtraindo e 9 de ambos os lados:
Então, eles se cruzam quando .

Passo 5

Com os pontos de interseção em e , vamos determinar qual curva está acima de qual no intervalo de integração.
Observando as equações:
Para :
  • está acima de
  • está acima de

Passo 6

A área que queremos é a soma das áreas entre:
  1. e de a
  2. e de a
Vamos calcular cada parte separadamente e depois somar.

Passo 7

Primeira parte da área:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Calculando em :
Em :
Então:

Passo 8

Segunda parte da área:
Integrando termo a termo:
Calculando em :
Em :
Então:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Passo 9

Agora, somamos as duas áreas:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é de 44,5 unidades de área.

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