Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área de uma região no plano que está limitada por três curvas:
,
, e
, considerando só os valores de
que são maiores ou iguais a zero. Esse tipo de problema utiliza conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar o trabalho. Vamos resolver cada uma para
:
-
Dividindo ambos os lados por 9:
-
Dividindo ambos os lados por 4:
-
Essa já está resolvida para.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Vamos igualar as funções duas a duas:
Primeiro, igualando
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Encontrando um denominador comum para os termos com
:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Então, eles se cruzam quando
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção entre
e
:
Multiplicando tudo por 9 para eliminar o denominador:
Subtraindo
e 9 de ambos os lados:
Então, eles se cruzam quando
.
Passo 5
Com os pontos de interseção em
e
, vamos determinar qual curva está acima de qual no intervalo de integração.
Observando as equações:
Para
:
-
está acima de -
está acima de
Passo 6
A área que queremos é a soma das áreas entre:
-
e de a -
e de a
Vamos calcular cada parte separadamente e depois somar.
Passo 7
Primeira parte da área:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Calculando em
:
Em
:
Então:
Passo 8
Segunda parte da área:
Integrando termo a termo:
Calculando em
:
Em
:
Então:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Passo 9
Agora, somamos as duas áreas:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é de 44,5 unidades de área.
Exercícios relacionados
Se
, onde
é uma função contínua, ache
.
Se
for uma função derivável tal que
para todo
, encontre
.
Se
, em que
, encontre
.
Se
, encontre
.