Se , em que , encontre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções definidas por integrais. A primeira é e a segunda é . Nosso objetivo é encontrar a derivada de no ponto , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajudam a derivar funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral com limite superior que depende de , a derivada é:
Ou seja, derivamos a função interna multiplicada pela derivada da função de dentro da integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar . Novamente, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, substituímos na expressão de :

Passo 5

Precisamos calcular . Vamos avaliar cada parte:
  1. Primeiro, calculemos :
  1. Agora, encontramos :
(Because a integral de 0 a 0 é zero)
  1. Em seguida, calculamos :
  1. Finalmente,

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão de :

Resposta

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Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Se , onde é uma função contínua, ache .
Se , encontre .
Use uma integral para estimar a soma .