Se f(x)=integral0^g(x) 1raiz1+t^3 d t, em que g(x)=integral0^cos (x)[1+sin (t^2)] d t, encontre f^prime(pi2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções definidas por integrais. A primeira é e a segunda é . Nosso objetivo é encontrar a derivada de no ponto , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajudam a derivar funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f'(x) = 1raiz1 + [g(x)]^3 cdot g'(x) em relação a . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral com limite superior que depende de , a derivada é:
Ou seja, derivamos a função interna multiplicada pela derivada da função de dentro da integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar g'(x) = ddx ( integral0^cos(x) [1 + sin(t^2)] , dt ) = [1 + sin( (cos(x))^2 )] cdot ddx (cos(x)) . Novamente, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
g'(x) = [1 + sin(cos^2(x))] cdot (-sin(x))
A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, substituímos f'(x) = 1raiz1 + [g(x)]^3 cdot [1 + sin(cos^2(x))] cdot (-sin(x)) na expressão de :

Passo 5

Precisamos calcular cos(pi2) = 0 . Vamos avaliar cada parte:
  1. Primeiro, calculemos g(pi2) = integral0^0 [1 + sin(t^2)] , dt = 0 :
sin(cos^2(pi2)) = sin(0^2) = sin(0) = 0
  1. Agora, encontramos :
(Because a integral de 0 a 0 é zero)
  1. Em seguida, calculamos :
  1. Finalmente,

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão de f'(pi2) = 1raiz1 + [0]^3 cdot [1 + 0] cdot (-1) = 1raiz1 cdot 1 cdot (-1) = -1 :

Resposta

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