Se
, em que
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções definidas por integrais. A primeira é
e a segunda é
. Nosso objetivo é encontrar a derivada de
no ponto
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajudam a derivar funções definidas por integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral com limite superior que depende de
, a derivada é:
Ou seja, derivamos a função interna
multiplicada pela derivada da função de dentro da integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
. Novamente, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
A derivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 5
Precisamos calcular
. Vamos avaliar cada parte:
- Primeiro, calculemos
:
- Agora, encontramos
:
(Because a integral de 0 a 0 é zero)
- Em seguida, calculamos
:
- Finalmente,
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão de
:
Resposta
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Se
, onde
é uma função contínua, ache
.
Se
, encontre
.
Use uma integral para estimar a soma
.