Se f(x)=integral0^x x^2 sin (t^2) d t, encontre f^prime(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
f(x) = integral0^x x^2 sin(t^2) , dt
Queremos encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema fundamental do cálculo e as regras de derivação de funções que envolvem integrais.

Passo 2

Vamos analisar a função . Ela é definida como uma integral de até da função . Note que dentro da integral temos , que depende de , e , que depende de .
Para derivar , precisamos aplicar a regra da derivada de uma integral que tem limites variáveis e uma função que depende de .

Passo 3

O teorema fundamental do cálculo nos diz que se temos uma função , então a derivada . Mas aqui, além do limite superior ser , temos uma função dentro da integral que também depende de , ou seja, .
Então, precisamos usar a regra de Leibniz para derivar integrais onde tanto os limites quanto a função integranda dependem de .

Passo 4

A regra de Leibniz para derivadas de integrais é dada por:
ddx ( integrala(x)^b(x) h(x, t) , dt ) = h(x, b(x)) cdot b^prime(x) - h(x, a(x)) cdot a^prime(x) + integrala(x)^b(x) partial hpartial x , dt
No nosso caso:

Passo 5

Aplicando a regra de Leibniz:
f^prime(x) = h(x, x) cdot 1 - h(x, 0) cdot 0 + integral0^x partialpartial x ( x^2 sin(t^2) ) dt
Simplificando:
f^prime(x) = x^2 sin(x^2) + integral0^x 2x sin(t^2) , dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Observamos que:
f^prime(x) = x^2 sin(x^2) + 2x integral0^x sin(t^2) , dt
A integral não possui uma antiderivada elementar, mas podemos deixar a expressão nessa forma, já que queremos apenas a derivada de .

Resposta

Portanto, a derivada de f^prime(x) = x^2 sin(x^2) + 2x integral0^x sin(t^2) , dt é:

Exercícios relacionados