Se , encontre .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
Queremos encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema fundamental do cálculo e as regras de derivação de funções que envolvem integrais.

Passo 2

Vamos analisar a função . Ela é definida como uma integral de até da função . Note que dentro da integral temos , que depende de , e , que depende de .
Para derivar , precisamos aplicar a regra da derivada de uma integral que tem limites variáveis e uma função que depende de .

Passo 3

O teorema fundamental do cálculo nos diz que se temos uma função , então a derivada . Mas aqui, além do limite superior ser , temos uma função dentro da integral que também depende de , ou seja, .
Então, precisamos usar a regra de Leibniz para derivar integrais onde tanto os limites quanto a função integranda dependem de .

Passo 4

A regra de Leibniz para derivadas de integrais é dada por:
No nosso caso:

Passo 5

Aplicando a regra de Leibniz:
Simplificando:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Observamos que:
A integral não possui uma antiderivada elementar, mas podemos deixar a expressão nessa forma, já que queremos apenas a derivada de .

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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Se , em que , encontre .
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Use uma integral para estimar a soma .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e forem contínuas em , então