Se
, encontre
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
Queremos encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema fundamental do cálculo e as regras de derivação de funções que envolvem integrais.
Passo 2
Vamos analisar a função
. Ela é definida como uma integral de
até
da função
. Note que dentro da integral temos
, que depende de
, e
, que depende de
.
Para derivar
, precisamos aplicar a regra da derivada de uma integral que tem limites variáveis e uma função que depende de
.
Passo 3
O teorema fundamental do cálculo nos diz que se temos uma função
, então a derivada
. Mas aqui, além do limite superior ser
, temos uma função dentro da integral que também depende de
, ou seja,
.
Então, precisamos usar a regra de Leibniz para derivar integrais onde tanto os limites quanto a função integranda dependem de
.
Passo 4
A regra de Leibniz para derivadas de integrais é dada por:
No nosso caso:
-
⇒ -
⇒ -
Passo 5
Aplicando a regra de Leibniz:
Simplificando:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Observamos que:
A integral
não possui uma antiderivada elementar, mas podemos deixar a expressão nessa forma, já que queremos apenas a derivada de
.
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
Exercícios relacionados
Se
, em que
, encontre
.
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Use uma integral para estimar a soma
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e
forem contínuas em
, então
Se