Se
, onde
é uma função contínua, ache
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
. O objetivo é encontrar o valor de
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada de uma integral que depende de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso nos ajudará a isolar
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo
:
Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é
.
Então temos:
Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
Então temos:
Passo 4
Agora, derivamos o lado direito
:
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos , a derivada é
.
Como e
, a derivada fica:
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos
Como
Passo 5
Igualando as duas derivadas:
Para encontrar
, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo
na equação:
Simplificando:
Passo 7
Isolando
:
Resposta
Exercícios relacionados
Se
for uma função derivável tal que
para todo
, encontre
.
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Se
, em que
, encontre
.