Se x sin (p x)=integral0^x^2 f(t) d t, onde f é uma função contínua, ache f(4).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação . O objetivo é encontrar o valor de . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada de uma integral que depende de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso nos ajudará a isolar .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo ddx [x sin(p x)] = sin(p x) + x cos(p x) cdot p :
Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então temos:

Passo 4

Agora, derivamos o lado direito f(x^2) cdot 2x :
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos , a derivada é .
Como e , a derivada fica:

Passo 5

Igualando as duas derivadas:
sin(p x) + p x cos(p x) = 2x f(x^2)
Para encontrar , precisamos que , ou seja, .

Passo 6

Substituindo sin(2p) + 2p cdot 2 cos(2p) = 2 cdot 2 cdot f(4) na equação:
sin(2p) + 4p cos(2p) = 4 f(4)
Simplificando:

Passo 7

Isolando f(4) = sin(2p) + 4p cos(2p)4 :

Resposta

f(4) = sin(2p) + 4p cos(2p)4

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