Se , onde é uma função contínua, ache .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação . O objetivo é encontrar o valor de . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada de uma integral que depende de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso nos ajudará a isolar .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo :
Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então temos:

Passo 4

Agora, derivamos o lado direito :
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos , a derivada é .
Como e , a derivada fica:

Passo 5

Igualando as duas derivadas:
Para encontrar , precisamos que , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 7

Isolando :

Resposta

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Se for uma função derivável tal que para todo , encontre .
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Se , em que , encontre .