Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar a área da região limitada pelas curvas e , no intervalo de até . Vamos usar integração, que é uma ferramenta matemática que ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Para achar essa área, precisamos integrar a função nesse intervalo. A integral vai nos dar a soma infinita de pequenos retângulos sob a curva, que juntos formam a área desejada.

Passo 3

Vamos configurar a integral:
Á
Aqui, é a função que está sendo integrada, e os limites de integração são de até .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que:
Aplicando isso para :

Passo 5

Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de e :
Á
Sabemos que e porque o cosseno é uma função periódica.

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
Á
Para deixar a resposta mais simples, vamos colocar tudo sobre o mesmo denominador:
Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
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e .
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e .
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e .