Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Passo 1
Beleza, a gente tem que encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
, no intervalo de
até
. Vamos usar integração, que é uma ferramenta matemática que ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Para achar essa área, precisamos integrar a função
nesse intervalo. A integral vai nos dar a soma infinita de pequenos retângulos sob a curva, que juntos formam a área desejada.
Passo 3
Vamos configurar a integral:
Aqui,
é a função que está sendo integrada, e os limites de integração são de
até
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a antiderivada de
. Sabemos que:
Aplicando isso para
:
Passo 5
Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
e
:
Sabemos que
e
porque o cosseno é uma função periódica.
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão:
Para deixar a resposta mais simples, vamos colocar tudo sobre o mesmo denominador:
Resposta
A área da região é
unidades quadradas.
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Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
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e
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