Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
no intervalo de
. Esse tipo de problema envolve cálculo integral, especificamente a integração de funções para achar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar essas curvas. A função
é uma onda que oscila entre -1 e 1, mas com o dobro da frequência da função
. Já
é simplesmente o eixo x. Queremos saber a área onde
está acima do eixo x.
Passo 3
Para encontrar essa área, precisamos identificar os intervalos onde
está acima de zero. Ou seja, onde
. Sabemos que o cosseno é positivo onde o ângulo está entre
e
e entre
e
, mas vamos ajustar para o nosso intervalo de
a
.
Passo 4
Resolvendo
para encontrar os pontos de interseção:
Para
, temos:
Esses são os pontos onde a curva cruza o eixo x dentro de
.
Passo 5
Agora, sabemos que
é positivo nos intervalos:
Ou seja, nesses intervalos a curva está acima do eixo x. Vamos calcular a área em cada um desses intervalos e somar tudo.
Passo 6
A fórmula para a área entre uma curva
e o eixo x de
a
é:
Aplicando isso aos nossos intervalos:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente. A antiderivada de
é
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Agora, somamos todas as áreas calculadas:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é 2 unidades de área.