Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a área da região limitada pelas curvas
no intervalo
e pela reta
. Aqui, vamos usar o conceito de cálculo de áreas entre curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que estamos lidando. A curva
é a função arco seno, que nos dá o ângulo cujo seno é
. No intervalo de
a
, essa função começa em
quando
e chega em
quando
. A reta
é simplesmente o eixo
. Queremos achar a área entre essas duas curvas nesse intervalo.
Passo 3
Para encontrar essa área, vamos usar a integral definida. A ideia é integrar a diferença entre as funções que delimitam a região. Como
está acima de
no intervalo dado, a área
pode ser calculada pela integral de
de
a
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de
não é direta, então vamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Agora, precisamos resolver a segunda integral:
Fazendo a substituição
, temos:
Voltando à integral original:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
for contínua em
, então
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e
.