Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a área da região limitada pelas curvas no intervalo e pela reta . Aqui, vamos usar o conceito de cálculo de áreas entre curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que estamos lidando. A curva é a função arco seno, que nos dá o ângulo cujo seno é . No intervalo de a , essa função começa em quando e chega em quando . A reta é simplesmente o eixo . Queremos achar a área entre essas duas curvas nesse intervalo.

Passo 3

Para encontrar essa área, vamos usar a integral definida. A ideia é integrar a diferença entre as funções que delimitam a região. Como está acima de no intervalo dado, a área pode ser calculada pela integral de de a :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de não é direta, então vamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Agora, precisamos resolver a segunda integral:
Fazendo a substituição , temos:
Voltando à integral original:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando em :
Calculando em :
Subtraindo:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
for contínua em , então
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .