Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas , e . A gente vai precisar usar conhecimentos sobre integração para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram para saber os limites de integração. Temos:
(a reta y-axis)
Para encontrar os pontos de interseção entre e , igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Então, as curvas se cruzam em .
Passo 3
Agora que sabemos que varia de 0 a 2, vamos calcular a área entre essas curvas. A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
No nosso caso, e . Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Subtraindo as duas partes:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas , e é 12 unidades quadradas.