Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas , e . A gente vai precisar usar conhecimentos sobre integração para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram para saber os limites de integração. Temos:
  • (a reta y-axis)
Para encontrar os pontos de interseção entre e , igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
Então, as curvas se cruzam em .

Passo 3

Agora que sabemos que varia de 0 a 2, vamos calcular a área entre essas curvas. A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
No nosso caso, e . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Subtraindo as duas partes:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas , e é 12 unidades quadradas.

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Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
e .
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e .
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e .
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e .