Em cada caso, determine a área da região plana limitada pelas curvas abaixo.
y = 4x - x^2 e y = 0.

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente integração, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas. Para resolver isso, vamos precisar achar os pontos onde as duas curvas se encontram e depois integrar a função que define a curva superior menos a inferior.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se interceptam, ou seja, onde . Isso vai nos dar os limites de integração.
Resolvendo a equação:
Então, ou .

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se interceptam nos pontos e , vamos montar a integral que representa a área entre elas. A área é dada por:
Aqui, é a função que está acima de entre e .

Passo 4

Vamos calcular a integral:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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