Em cada caso, determine se o conjunto de vetores es linearmente independente. Em caso negativo, encontre explicitamente uma relação linear entre os vetores.
© (l1 0 0 1),(l0 1 1 0),(l1 1 1 1),(l2 1 1 2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro vetores no espaço R^4:
v1 = 1 0 0 1, v2 = 0 1 1 0, v3 = 1 1 1 1, v4 = 2 1 1 2
O que precisamos fazer é verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Vetores são linearmente independentes se a única solução para a combinação linear igual a zero for todos os coeficientes serem zero. Ou seja, queremos encontrar se existe uma solução não trivial para:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + c4 v4 = 0
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
c1 + 0c2 + c3 + 2c4 = 0 0c1 + c2 + c3 + c4 = 0 0c1 + c2 + c3 + c4 = 0 c1 + 0c2 + c3 + 2c4 = 0

Passo 3

Observamos que as equações 1 e 4 são idênticas, e as equações 2 e 3 também são iguais. Portanto, o sistema reduz para:
c1 + c3 + 2c4 = 0 c2 + c3 + c4 = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de c1, c2, c3 e c4.

Passo 4

Escolhemos um dos coeficientes como parâmetro. Vamos deixar c4 = t, onde t é um número real qualquer.
A partir da segunda equação:
c2 = -c3 - t
E da primeira equação:
c1 = -c3 - 2t
Agora, temos c1 e c2 em termos de c3 e c4. Podemos escolher c3 = s, onde s também é um número real qualquer.
Então:
c1 = -s - 2t c2 = -s - t c3 = s c4 = t

Passo 5

Para ter uma relação linear não trivial, escolhemos valores específicos para s e t. Por simplicidade, vamos escolher s = 1 e t = 0:
c1 = -1 - 0 = -1 c2 = -1 - 0 = -1 c3 = 1 c4 = 0

Passo 6

Substituindo esses valores na combinação linear:
-1 cdot v1 -1 cdot v2 +1 cdot v3 +0 cdot v4 = 0
Isso confirma que existe uma relação linear não trivial entre os vetores.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes. Uma relação linear é -1v1 -1v2 +1v3 = 0.

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