Em cada caso, determine se o conjunto de vetores es linearmente independente. Em caso negativo, encontre explicitamente uma relação linear entre os vetores.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro vetores no espaço
R^4 :
O que precisamos fazer é verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Vetores são linearmente independentes se a única solução para a combinação linear igual a zero for todos os coeficientes serem zero. Ou seja, queremos encontrar se existe uma solução não trivial para:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 3
Observamos que as equações 1 e 4 são idênticas, e as equações 2 e 3 também são iguais. Portanto, o sistema reduz para:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
c1 ,
c2 ,
c3 e
c4 .
Passo 4
Escolhemos um dos coeficientes como parâmetro. Vamos deixar
c4 = t , onde
t é um número real qualquer.
A partir da segunda equação:
E da primeira equação:
Agora, temos
c1 e
c2 em termos de
c3 e
c4 . Podemos escolher
c3 = s , onde
s também é um número real qualquer.
Então:
Passo 5
Para ter uma relação linear não trivial, escolhemos valores específicos para
s e
t . Por simplicidade, vamos escolher
s = 1 e
t = 0 :
Passo 6
Substituindo esses valores na combinação linear:
Isso confirma que existe uma relação linear não trivial entre os vetores.
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes. Uma relação linear é
-1v1 -1v2 +1v3 = 0 .