Em cada caso, determine se o conjunto de vetores es linearmente independente. Em caso negativo, encontre explicitamente uma relação linear entre os vetores.
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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro vetores no espaço :
O que precisamos fazer é verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Vetores são linearmente independentes se a única solução para a combinação linear igual a zero for todos os coeficientes serem zero. Ou seja, queremos encontrar se existe uma solução não trivial para:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:

Passo 3

Observamos que as equações 1 e 4 são idênticas, e as equações 2 e 3 também são iguais. Portanto, o sistema reduz para:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Escolhemos um dos coeficientes como parâmetro. Vamos deixar , onde é um número real qualquer.
A partir da segunda equação:
E da primeira equação:
Agora, temos e em termos de e . Podemos escolher , onde também é um número real qualquer.
Então:

Passo 5

Para ter uma relação linear não trivial, escolhemos valores específicos para e . Por simplicidade, vamos escolher e :

Passo 6

Substituindo esses valores na combinação linear:
Isso confirma que existe uma relação linear não trivial entre os vetores.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes. Uma relação linear é .

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Em cada caso determine se o vetor está no espaço gerado pelas colunas da matriz
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Dados os pontos e , determine: A área do triângulo de vértices e ;
Prove que se então ou .
Questão (9 pts) Considere o sistema linear
(a) Encontre sua solução geral pelo método de escalonamento.