Em cada caso determine se o vetor b está no espaço gerado pelas colunas da matriz A
© A=(ll2 & 4 1 & 3), b=binom69

Passo 1

Então, a gente precisa descobrir se o vetor 6 9 tá dentro do espaço gerado pelas colunas da matriz 2 & 4 1 & 3. Isso envolve usar álgebra linear pra ver se dá pra escrever como uma combinação linear das colunas de .

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa o vetor A x y = b estar no espaço gerado por 2 & 4 1 & 3 x y = 6 9 . Isso quer dizer que existem números (vamos chamar de e ) tais que:
Ou seja:

Passo 3

Vamos traduzir isso numa equação mais fácil de resolver. Multiplicando a matriz pelos vetores, a gente tem o seguinte sistema de equações:
2x + 4y = 6 1x + 3y = 9
Então, agora nosso objetivo é achar valores de e que satisfaçam essas duas equações ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou usar a substituição aqui.
Primeiro, vamos da segunda equação:
x + 3y = 9 Rightarrow x = 9 - 3y
Agora, a gente substitui 2(9 - 3y) + 4y = 6 18 - 6y + 4y = 6 18 - 2y = 6 -2y = 6 - 18 -2y = -12 y = -12-2 y = 6 na primeira equação:
x = 9 - 3(6) x = 9 - 18 x = -9
Agora que temos , plugamos de volta na expressão para :

Passo 5

Encontramos que e satisfazem ambas as equações. Isso significa que existe uma combinação linear das colunas de que resulta em .

Resposta

Sim, o vetor está no espaço gerado pelas colunas da matriz , pois existe uma solução e que satisfaz o sistema .

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