Em cada caso determine se o vetor está no espaço gerado pelas colunas da matriz
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Passo 1

Então, a gente precisa descobrir se o vetor tá dentro do espaço gerado pelas colunas da matriz . Isso envolve usar álgebra linear pra ver se dá pra escrever como uma combinação linear das colunas de .

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa o vetor estar no espaço gerado por . Isso quer dizer que existem números (vamos chamar de e ) tais que:
Ou seja:

Passo 3

Vamos traduzir isso numa equação mais fácil de resolver. Multiplicando a matriz pelos vetores, a gente tem o seguinte sistema de equações:
Então, agora nosso objetivo é achar valores de e que satisfaçam essas duas equações ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou usar a substituição aqui.
Primeiro, vamos da segunda equação:
Agora, a gente substitui na primeira equação:
Agora que temos , plugamos de volta na expressão para :

Passo 5

Encontramos que e satisfazem ambas as equações. Isso significa que existe uma combinação linear das colunas de que resulta em .

Resposta

Sim, o vetor está no espaço gerado pelas colunas da matriz , pois existe uma solução e que satisfaz o sistema .

Exercícios relacionados

Dados os pontos e , determine: A área do triângulo de vértices e ;
Use o método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan para determinar as soluções (caso existam) dos seguintes sistemas lineares


(a)
Em cada caso, determine se o conjunto de vetores es linearmente independente. Em caso negativo, encontre explicitamente uma relação linear entre os vetores.
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Prove que se então ou .