Em cada caso determine se o vetor
está no espaço gerado pelas colunas da matriz
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Passo 1
Então, a gente precisa descobrir se o vetor
tá dentro do espaço gerado pelas colunas da matriz
. Isso envolve usar álgebra linear pra ver se dá pra escrever
como uma combinação linear das colunas de
.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa o vetor
estar no espaço gerado por
. Isso quer dizer que existem números (vamos chamar de
e
) tais que:
Ou seja:
Passo 3
Vamos traduzir isso numa equação mais fácil de resolver. Multiplicando a matriz pelos vetores, a gente tem o seguinte sistema de equações:
Então, agora nosso objetivo é achar valores de
e
que satisfaçam essas duas equações ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou usar a substituição aqui.
Primeiro, vamos da segunda equação:
Agora, a gente substitui
na primeira equação:
Agora que temos
, plugamos de volta na expressão para
:
Passo 5
Encontramos que
e
satisfazem ambas as equações. Isso significa que existe uma combinação linear das colunas de
que resulta em
.
Resposta
Sim, o vetor
está no espaço gerado pelas colunas da matriz
, pois existe uma solução
e
que satisfaz o sistema
.