Dados os pontos e , determine: A área do triângulo de vértices e ;
Passo 1
Beleza! A gente tem aqui três pontos no espaço: , e . A questão pede para a gente descobrir a área do triângulo formado por esses três pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria no espaço tridimensional, especificamente o cálculo do produto vetorial para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam dois lados do triângulo. Vamos calcular os vetores e .
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular ao plano formado por e , e a magnitude desse vetor é igual ao dobro da área do triângulo.
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Calculando o determinante:
Então, .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que é dada pela fórmula:
| AB times AC | = raiz10^2 + (-5)^2 + (-5)^2 = raiz100 + 25 + 25 = raiz150
Simplificando, temos:
raiz150 = raiz25 times 6 = 5raiz6
Passo 5
Lembrando que a área do triângulo é metade da magnitude do produto vetorial, então:
Área = 12 times 5raiz6 = 5raiz62 Á
Resposta
A área do triângulo de vértices e é unidades de área.