Dados os pontos e , determine: A área do triângulo de vértices e ;

Passo 1

Beleza! A gente tem aqui três pontos no espaço: , e . A questão pede para a gente descobrir a área do triângulo formado por esses três pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria no espaço tridimensional, especificamente o cálculo do produto vetorial para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam dois lados do triângulo. Vamos calcular os vetores e .
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora que temos os vetores e , vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular ao plano formado por e , e a magnitude desse vetor é igual ao dobro da área do triângulo.
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Calculando o determinante:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que é dada pela fórmula:
Simplificando, temos:

Passo 5

Lembrando que a área do triângulo é metade da magnitude do produto vetorial, então:
Á

Resposta

A área do triângulo de vértices e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Use o método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan para determinar as soluções (caso existam) dos seguintes sistemas lineares


(a)
Suponha que seja uma série absolutamente convergente. Mostre que é uma série convergente.
Em cada caso determine se o vetor está no espaço gerado pelas colunas da matriz
©
Em cada caso, determine se o conjunto de vetores es linearmente independente. Em caso negativo, encontre explicitamente uma relação linear entre os vetores.
©