Dados os pontos A=(1,1,1), B=(-2,-1,-3) e C=(0,2,-2), determine: A área do triângulo de vértices A, B e C;

Passo 1

Beleza! A gente tem aqui três pontos no espaço: , e . A questão pede para a gente descobrir a área do triângulo formado por esses três pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria no espaço tridimensional, especificamente o cálculo do produto vetorial para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam dois lados do triângulo. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (-2 - 1, -1 - 1, -3 - 1) = (-3, -2, -4) e AC = C - A = (0 - 1, 2 - 1, -2 - 1) = (-1, 1, -3) .
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Para encontrar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora que temos os vetores AB times AC = i & j & k -3 & -2 & -4 -1 & 1 & -3 e AB times AC = i((-2)(-3) - (-4)(1)) - j((-3)(-3) - (-4)(-1)) + k((-3)(1) - (-2)(-1)) , vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular ao plano formado por = i(6 + 4) - j(9 - 4) + k(-3 - 2) e = 10,i - 5,j - 5,k , e a magnitude desse vetor é igual ao dobro da área do triângulo.
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
Calculando o determinante:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que é dada pela fórmula:
| AB times AC | = raiz10^2 + (-5)^2 + (-5)^2 = raiz100 + 25 + 25 = raiz150
Simplificando, temos:
raiz150 = raiz25 times 6 = 5raiz6

Passo 5

Lembrando que a área do triângulo é metade da magnitude do produto vetorial, então:
Área = 12 times 5raiz6 = 5raiz62 Á

Resposta

A área do triângulo de vértices e é unidades de área.

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