Prove que se então ou .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se multiplicarmos um número real por um vetor e o resultado for o vetor zero, então ou é igual a zero ou o vetor é o vetor zero. Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar um escalar por um vetor. Se é um número real e é um vetor, então resulta em outro vetor onde cada componente de é multiplicada por .

Passo 3

Agora, sabemos que o vetor zero, denotado por , é o vetor onde todas as suas componentes são zero. Ou seja, .

Passo 4

O enunciado nos diz que . Isso significa que, ao multiplicar por cada componente de , o resultado é um vetor com todas as componentes iguais a zero.

Passo 5

Vamos analisar o que isso implica para os componentes individuais de . Se , então:

Passo 6

Para que cada uma dessas equações seja verdadeira, temos duas possibilidades para cada componente:
  1. para cada

Passo 7

Se , então a única maneira de todas as equações serem verdadeiras é que cada . Isso significa que .

Passo 8

Por outro lado, se , então pelo menos uma das componentes . Nesse caso, a única maneira de ser verdadeira é que .

Passo 9

Portanto, chegamos à conclusão de que ou é zero ou é o vetor zero.

Resposta

Assim, provamos que se , então necessariamente ou .

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