Prove que se
então
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se multiplicarmos um número real
por um vetor
e o resultado for o vetor zero, então ou
é igual a zero ou o vetor
é o vetor zero. Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar um escalar por um vetor. Se
é um número real e
é um vetor, então
resulta em outro vetor onde cada componente de
é multiplicada por
.
Passo 3
Agora, sabemos que o vetor zero, denotado por
, é o vetor onde todas as suas componentes são zero. Ou seja,
.
Passo 4
O enunciado nos diz que
. Isso significa que, ao multiplicar
por cada componente de
, o resultado é um vetor com todas as componentes iguais a zero.
Passo 5
Vamos analisar o que isso implica para os componentes individuais de
. Se
, então:
Passo 6
Para que cada uma dessas equações seja verdadeira, temos duas possibilidades para cada componente:
-
-
para cada
Passo 7
Se
, então a única maneira de todas as equações serem verdadeiras é que cada
. Isso significa que
.
Passo 8
Por outro lado, se
, então pelo menos uma das componentes
. Nesse caso, a única maneira de
ser verdadeira é que
.
Passo 9
Portanto, chegamos à conclusão de que ou
é zero ou
é o vetor zero.
Resposta
Assim, provamos que se
, então necessariamente
ou
.