2^a Questão (9 pts) Considere o sistema linear
x+y+3 z+w & =0 x+y+2 z+2 w & =1 y+2 z+2 w & =0 2 z-2 w & =-2
(a) Encontre sua solução geral pelo método de escalonamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com quatro equações e quatro incógnitas: , , e . A missão aqui é encontrar a solução geral desse sistema usando o método de escalonamento, que é tipo uma forma de organizar as equações pra facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar manipular as equações para deixar uma delas mais simples e ir resolvendo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
x + y + 3z + w = 0 (1) x + y + 2z + 2w = 1 (2) y + 2z + 2w = 0 (3) 2z - 2w = -2 (4)
Vamos começar eliminando (x + y + 2z + 2w) - (x + y + 3z + w) = 1 - 0 das equações (2) usando a equação (1). Subtraindo a equação (1) da equação (2):
-z + w = 1 (5)
Isso simplifica para:
Agora temos uma nova equação (5) sem .

Passo 3

Vamos olhar para a equação (3) e ver se conseguimos eliminar alguma variável. Já que a equação (4) só tem 2z - 2w = -2 e z - w = -1 (6) , já estamos quase isolando essas variáveis. Vamos resolver a equação (4) para uma delas, por exemplo, :
Dividindo todos os termos por 2:
Agora temos duas equações com e : a equação (5) e (6).

Passo 4

Vamos resolver as equações (5) e (6) juntas para encontrar -z + w = 1 (5) z - w = -1 (6) e (-z + w) + (z - w) = 1 + (-1) 0 = 0 .
w = z + 1
Somando as duas equações:
Isso indica que as duas equações são dependentes, ou seja, uma é múltiplo da outra. Vamos resolver a equação (5) para :

Passo 5

Agora que temos y + 2z + 2w = 0 em termos de y + 2z + 2(z + 1) = 0 y + 2z + 2z + 2 = 0 y + 4z + 2 = 0 y = -4z - 2 , podemos substituir isso na equação (3) para encontrar :
Substituindo :

Passo 6

Com x + y + 3z + w = 0 e x + (-4z - 2) + 3z + (z + 1) = 0 x - 4z - 2 + 3z + z + 1 = 0 x + 0z -1 = 0 x = 1 em termos de , vamos voltar para a equação (1) para encontrar :
Substituindo e :

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = 1 y = -4z - 2 w = z + 1
onde é um parâmetro livre que pode assumir qualquer valor real.

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