Questão (9 pts) Considere o sistema linear
(a) Encontre sua solução geral pelo método de escalonamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com quatro equações e quatro incógnitas: , , e . A missão aqui é encontrar a solução geral desse sistema usando o método de escalonamento, que é tipo uma forma de organizar as equações pra facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar manipular as equações para deixar uma delas mais simples e ir resolvendo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Vamos começar eliminando das equações (2) usando a equação (1). Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Isso simplifica para:
Agora temos uma nova equação (5) sem .

Passo 3

Vamos olhar para a equação (3) e ver se conseguimos eliminar alguma variável. Já que a equação (4) só tem e , já estamos quase isolando essas variáveis. Vamos resolver a equação (4) para uma delas, por exemplo, :
Dividindo todos os termos por 2:
Agora temos duas equações com e : a equação (5) e (6).

Passo 4

Vamos resolver as equações (5) e (6) juntas para encontrar e .
Somando as duas equações:
Isso indica que as duas equações são dependentes, ou seja, uma é múltiplo da outra. Vamos resolver a equação (5) para :

Passo 5

Agora que temos em termos de , podemos substituir isso na equação (3) para encontrar :
Substituindo :

Passo 6

Com e em termos de , vamos voltar para a equação (1) para encontrar :
Substituindo e :

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde é um parâmetro livre que pode assumir qualquer valor real.

Exercícios relacionados

Prove que se então ou .
Em cada caso, determine se o conjunto de vetores es linearmente independente. Em caso negativo, encontre explicitamente uma relação linear entre os vetores.
©
Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
a) Para a transformação linear dada por e , escreva a matriz de na base canônica e calcule o determinante de .
Seja uma matriz cujas linhas são . Como em sala de aula denotamos . Usando a linearidade em cada uma das linhas ( -linearidade do determinante) e a propriedade do determinante de ser alternado:
a) Prove que se , então .