Suponha que . Determine em cada caso se a afirmação é verdaeira ou falsa. Justifique adequadamenbte
(a) Se e então não é um conjunto linearmente independente.
(b) Se é um conjunto linearmente independente então é um conjunto linearmente independente.
© Se é um conjunto linearmente independente e é um conjunto linearmente independente então é um conjunto linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre conjuntos de vetores em e queremos saber se certas afirmações sobre independência linear desses vetores são verdadeiras ou falsas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de independência linear, que basicamente verifica se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Precisaremos entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como a presença de vetores nulos ou a adição de novos vetores afeta isso.

Passo 2

Parte (a): Se , então não é um conjunto linearmente independente.
Vamos pensar no que significa ter um vetor zero no conjunto. Se , isso quer dizer que podemos escrever como . Isso mostra que temos uma combinação linear não trivial (com coeficientes diferentes de zero) que resulta no vetor zero. Portanto, o conjunto não pode ser linearmente independente porque o vetor zero sempre traz dependência.

Passo 3

Parte (b): Se é um conjunto linearmente independente, então é um conjunto linearmente independente.
Aqui, a gente sabe que os três primeiros vetores são independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Mas o que acontece quando adicionamos mais um vetor ? Não necessariamente vai manter a independência. Pode ser que seja uma combinação dos três primeiros, o que faria o conjunto todo ser dependente. Por exemplo, se , então já temos uma relação de dependência. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Parte ©: Se é um conjunto linearmente independente e é um conjunto linearmente independente, então é um conjunto linearmente independente.
Vamos analisar isso. Ter dois conjuntos independentes separadamente não garante que, juntos, formem um conjunto independente. Por exemplo, pode ser que e sejam combinações de e , o que criaria dependência no conjunto total. Sem saber se há uma relação entre os vetores dos dois conjuntos, não podemos afirmar que o conjunto todo é independente. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
© Falsa.

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Em cada caso, determine se o conjunto de vetores é linearmente independente. Em caso negativo, encontre explicitamente uma relação linear entre os vetores.
(a)
(b)
©
(d)
Considere as seguintes matrizes:
Realize as seguintes operações:
(a)
Considere as seguintes matrizes:
Realize as seguintes operações:
©